Cero

Todo número es cero ante el infinito

Víctor Hugo

El cero es uno de los números más interesantes y curiosos que existen, con dos funciones básicas que tienen un impacto directo en nuestra vida diaria: es representativo de la nada y de lo mucho y sirve como elemento posicional. Para ejemplo, uno realmente sencillo y fácil de entender: no es lo mismo 0 € que 100 €, o que 100.000, o que 1.000.000 €. Del mismo modo, no es lo mismo decir el año 1808 que el año 1088, fechas entre las que hay más de 7 siglos de diferencia y mucha, muchísima historia y acontecimientos en ellos. Como hemos dicho, es representativo de la nada o de lo mucho y tiene una gran importancia posicional.

Para determinar el origen del número cero hay que remontarse a la civilización babilónica, cultura antigua del Cercano Oriente que existió entre 2100 y 538 a.C., y a la cultura maya, una civilización mesoamericana que mantuvo su poder militar, político y cultural entre 1800 a.C. y finales del siglo XVII de nuestra era. Pero los matemáticos babilónicos y mayas solo utilizaron el cero posicional, y a partir de ambas civilizaciones llegó a la India, donde fue objeto de estudio y tuvo una gran evolución, convirtiéndose en un número como tal y pasando a formar parte de la aritmética, rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operaciones elementales hechas con ellos. De hecho, fue en la India donde, al agregar el cero al sistema numérico, se desató el verdadero poder de los números, alcanzando su madurez y sofisticación actual.

Es posible que el matemático indio Brahmagupta (590-670) fuera el primero en teorizar sobre el concepto de cero no solo como definición de una cantidad nula, sino como posible sumando para números negativos y positivos. El primer testimonio del uso del cero indio está datado en el año 683: una inscripción camboyana de Angkor Wat, tallada en piedra, que incluye el número 605. Otras pruebas de uso se datan hacia el año 810. Las inscripciones de Gwalior están datadas en 875-876. El matemático, astrónomo y geógrafo persa Abu Abdallah Muḥammad Ibn Mūsā Al-Jwarizmī (780-850), en su obra titulada «Tratado de la adición y la sustracción mediante el cálculo de los indios» explica el principio de numeración posicional decimal, señalando el origen indio de las cifras. La décima figura, que tiene forma redondeada, es el cero [1].

En la Antigua Grecia y en el Imperio Romano el cero ni siquiera se contemplaba como un número, hasta que en la Edad Media los árabes lo transmitieron por el Magreb y Al-Ándalus, pasando posteriormente al resto de Europa. Precisamente fueron éstos lo que lo bautizaron, originándose la palabra a partir del término árabe صفر –sifr-, que se traduce como estar vacío.  Los primeros manuscritos que muestran las cifras indias -llamadas entonces árabes– provienen del norte de España y son del siglo X: el Codex Vigilanus y el Codex Aemilianensis. El cero no figura en los textos, pues los cálculos se realizaban con ábaco, y su uso aparentemente no era necesario.

Pese a la importancia de tan singular número, no tuvo demasiada popularidad y la gran mayoría de los avances matemáticos que tuvieron lugar en el Renacimiento se dieron sin el cero, tardando casi mil años en echar raíces en Europa, mucho después de que lo hiciera en China y el Medio Oriente. En el año 1200 el matemático italiano Fibonacci (1170-1240), quien trajo el sistema decimal a Europa, escribió: «El método de los indios supera cualquier método de cálculo conocido. Es un método fantástico. Hacen sus cálculos usando nueve dígitos y el símbolo cero». Este método de cálculo permitió a los matemáticos abordar problemas mucho más complejos y estudiar las propiedades generales de los números, posibilitando, entre otras cosas, el trabajo del matemático y astrónomo indio Brahmagupta, considerado el padre del álgebra moderna.

El empleo del cero es, en pleno siglo XXI, fundamental e indispensable, y nadie puede imaginar las operaciones matemáticas sin hacer uso del mismo. Su lugar en la ciencia y la ingeniería es inestimable, un concepto poderosísimo que permite generar reglas de cálculo simples y complejas. No en vano, los estudios del matemático persa Al-Jwarizmī, el primero en registrar y explotar meticulosamente las instrucciones aritméticas con el cero, dejarían obsoletos a los ábacos. Además, estos estudios serían la base de la automatización de la aritmética en particular y de las matemáticas en general, el principio que haría de esta ciencia el fundamento teórico de las computadoras modernas. Como anécdota, y para quien no lo sepa, la palabra algoritmo, tan ampliamente utilizada en nuestros tiempos por diversos motivos -buenos y malos-, se deriva del nombre Al-Jwarizmī.

El álgebra, los algoritmos o el cálculo infinitesimal, tres de los pilares básicos de las matemáticas modernas, son el resultado de la notación de la nada. La invención del cero creó una forma nueva y más precisa de describir fracciones. Por ejemplo, el hecho de agregar ceros al final de un número aumenta su magnitud; agregar ceros al comienzo de este número, después de la coma, lo disminuye; mientras que la colocación infinita de números a la derecha del decimal corresponde a una precisión infinita -véase, como ejemplo, el número π y sus infinitos decimales-. Y precisamente esa extraordinaria precisión era exactamente lo que necesitaban los grandes filósofos y matemáticos -entre otras muchas cosas- del siglo XVII Isaac Newton y Gottfried Leibniz para desarrollar su grandioso trabajo sobre el cálculo infinitesimal.

Los matemáticos resaltan que una de las operaciones más complejas que existen es dividir entre cero. En el siglo IX, el monje y filósofo indio Mahavira (540-468 a.C.) profundizó en las operaciones con el cero, indicando que la multiplicación de un número por cero es cero: el cero es el elemento absorbente ya que cualquier número operado con 0 da 0 (a • 0 = 0); pero no acertó en la fracción al asegurar que si un número se divide por cero permanece invariable. En realidad, el cero no puede dividir a ningún número. En la suma, el cero es el elemento neutro: cualquier número a sumado con 0 vuelve a dar a (a + 0 = 0). En la resta, el cero es el elemento neutro: cualquier número a restado con 0 vuelve a dar a, excepto cuando el cero es el minuendo, en cuyo caso resulta –a (a – 0 = a ; 0 – a = –a). En la potenciación, si a es distinto de 0, entonces a⁰ = 0, si n es mayor de 0, entonces 0ⁿ = 0. En el contexto de los límites, 0⁰ es una indeterminación, pues los límites de potencias tales que los límites de base y exponente por separado son cero, pueden terminar dando cualquier cosa. En el conjunto de los enteros, el 0 es un número par, aunque permaneció sin clasificar hasta el año 1600, cuando tras mucha resistencia y debate, se admitió como par al demostrarse que satisface la definición de paridad, así como también todas las características de los números pares. El cero figura, junto con los números 1, π, i, e, en la célebre Identidad de Euler: e^iπ + 1 = 0. Estas son solo algunas de las operaciones, básicas, en las que el cero está involucrado; también aparece en la matemática avanzada, en los sistemas digitales, en la física…

Y para terminar este artículo, me gustaría recoger tan solo algunas curiosidades de las que hace gala este potente número, sin duda uno de los más subestimados de todos los utilizados en las ciencias empíricas. Así, a pesar de lo que pueda parecer, el cero no siempre indica ausencia de cantidad: por ejemplo, 0ºC no significa que no haya temperatura o que no haya grados. Por otro lado, ni en el calendario gregoriano ni en el juliano existe el año cero: del 31 de diciembre del año 1 antes de Cristo se pasa al 1 de enero del año 1 después de Cristo. Esto es así porque los años no se cuentan con números cardinales -indican cantidad-, sino que se ordenan con números ordinales -indican orden-, entre los que no se incluye el cero. Entonces, puesto que no hubo año cero, el que celebró la llegada del siglo XXI en el 2000 estaba en realidad celebrando el paso de 1999 años. La llegada del siglo XXI debía celebrarse con la entrada del 2001.

El cero no es un número positivo ni negativo, ya que ambos representan a dígitos mayores o menores que el cero, quedando éste en una especie de limbo matemático. Además, representa un concepto principalmente englobado en las ciencias exactas, pero también está íntimamente ligado a la física y a la filosofía. Es una forma de representar la nada y el vacío y ha interesado y confundido a los científicos y sabios durante gran parte de la historia: ¿qué significa un espacio vacío? Si está vacío, ¿tiene algún significado? ¿sirve para algo? ¿para qué? ¿afecta a lo que le rodea? El cero tiene significado, sirve y nos afecta sobremanera. Porque como dijo el genial Stephen Hawking, «cuando las expectativas de uno se reducen a cero, uno aprecia realmente todo lo que tiene».