Infinito

¿Este inmenso azul del cielo es su verdadero color o es el efecto de la distancia infinita?

Chuang Tzu

Infinito… que no tiene ni puede tener fin ni término. Un atributo muy a menudo otorgado al cielo y al universo. Y en efecto podría serlo, dado que el ser humano, e incluso todo el conjunto de nuestro Sistema Solar, es infinitamente pequeño en comparación con el tamaño descomunal del cosmos. 

El infinito como cantidad está inevitablemente relacionado con la mera noción de número: siempre se puede pensar en un número natural mayor que uno dado, generándose así una sucesión infinita. Es por ello por lo que el concepto de infinito existe en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras de la física. Sin embargo, que exista en el mundo abstracto de las matemáticas y en el más concreto y definido de la física no significa que exista en el mundo real. De hecho, en la vida cotidiana absolutamente nada de lo que está al alcance es infinito, o lo que es lo mismo, todo está acotado y tiene un final.

A lo largo de la historia ha quedado demostrado que el infinito matemático es un concepto que está estrechamente relacionado con la filosofía y la religión, ya que no solo matemáticos, sino también pensadores y teólogos de todos los tiempos han dedicado grandes esfuerzos a intentar aclararlo y sacar conclusiones acerca de él.

Las primeras cuestiones acerca del infinito surgieron en la Antigua Grecia al pensar en el espacio y el tiempo, intentando dilucidar si serían finitos o infinitos. La primera referencia seria del infinito aparece por primera vez de la mano del filósofo y geógrafo griego del siglo VI a.C. Anaximandro, el cual proponía que la primera sustancia que conforma todas las cosas es el ápeiron -τὸ ἄπειρον, palabra griega que significa «sin límites» o «sin definición»-, que concibió como algo neutral e imperecedero, infinito e ilimitado.

Anaximandro con un reloj solar. Mosaico romano de principios del siglo III d. C. Imagen tomada de es.wikipedia.org

A lo largo del tiempo y conforme más atención se le fue prestando al infinito, más problemas y confusión fue causando como consecuencia de las situaciones contradictorias en las que podía verse envuelto, generando en el mundo griego lo que se denominó como horror al infinito. Una de las paradojas más célebres relacionadas con este concepto es la propuesta por el filósofo griego del siglo V a.C. Zenón de Elea, conocida como la Paradoja de Aquiles y la tortuga, que constituye un maravilloso ejemplo de cómo cualquier valor finito siempre se puede dividir un número infinito de veces, sin importar cuán pequeñas puedan ser sus divisiones.

Imagen tomada de xatakaciencia.com

Tras el oscurantismo científico y filosófico medieval, el mundo asistió al nacimiento de dos gigantes de las matemáticas, Gottfried Leibniz e Isaac Newton, los cuales y de manera separada en independiente, inventaron el cálculo. Pero incluso genios de tal calibre tuvieron grandes dificultades para tratar con el infinito, ya que, por poner tan solo un ejemplo, la circunferencia seguía siendo un polígono de infinitos lados infinitamente pequeños, es decir, algo muy complejo y delicado a la hora de someterlo a análisis.

Ya en el siglo XIX, el notable matemático alemán Georg Cantor, dedicando ingentes esfuerzos al estudio del infinito, llegó a conclusiones que conmocionaron el pensamiento científico occidental de su tiempo, como por ejemplo que el todo -¿qué es el todo?- es más grande que cualquiera de sus partes, que no todos los infinitos son igual de grandes, que ningún conjunto es tan grande como el conjunto de sus subconjuntos o que no existe algo que pueda definirse como el conjunto de todos los conjuntos. Pese a todo, no logró dejar atados todos los cabos, y puede decirse que durante todo el siglo XX y aún en pleno siglo XXI, ha perdurado el escepticismo entre filósofos y matemáticos acerca de lo domesticado o indómito del concepto de infinito. Albert Einstein llegó a decir: «Sólo conozco dos cosas infinitas, el universo y la estupidez humana, y no estoy tan seguro de la primera».

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918). Imagen tomada de es.wikipedia.org

El símbolo ∞ con que se expresa el infinito, del que existen infinidad de variedades y diseños, presente en obras de arte, tatuajes, etc., fue introducido en 1656 a la notación matemática por el matemático inglés John Wallis (1616-1703) en su obra Arithmetica Infinitorum, y en 1694 el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli (1655-1705) describió por primera vez su geometría, obteniendo la ecuación de la conocida como lemniscata de Bernoulli (x2 + y2)2 = 2d2(x2y2).

Lemniscata de Bernoulli. Imagen tomada de es.wikipedia.org

Se baraja, no obstante, la posibilidad de que el símbolo ∞ tenga su origen en antiguas representaciones alquímicas o religiosas, como pueden ser ciertos ideogramas de la serpiente uróboro, o que incluso esté basado en el fenómeno astronómico conocido como analema, la curva que describe la posición del Sol en el cielo si todos los días del año se lo observa a la misma hora del día (huso horario) y desde el mismo lugar de observación.

Analema sobre el Pórtico de las Cariátides. Imagen tomada de observatorio.info

Infinito, pese a no ser un número real sino tan solo una idea, una idea de algo que no termina, es empleado muy frecuentemente y con gran relevancia, como ya se ha comentado, en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras de la física. En realidad, el uso de infinito es más sencillo que el de muchos otros entes que sí tienen final, dado que, a través de su empleo, hay que definir dónde está ese final; eso no quita que existan varios tipos de infinitos, unos más grandes que otros -Cantor demostró que los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los números naturales, lo que significa que la infinitud de los irracionales es de orden superior a la de los naturales-, pero todos igual de rebeldes ante las teorías matemáticas y que además se comportan de forma diferente a todos los demás cuando se someten a las operaciones matemáticas más básicas.

Imagen tomada de bbc.com

Infinito no crece, infinito es infinito. Y puesto que no todos los infinitos son iguales y, por ende, es imposible saber con qué tipos de infinitos estamos operando, es imposible saber cuál sería el resultado. Esto implica que si se suma infinito más uno, la solución sigue siendo infinito, igual que si se resta. Cuando algo no tiene fin, eso no varía por muchas unidades que se le sume o se le reste. Y en sentido opuesto, cualquier número dividido por infinito tiene como resultado el número cero. Esto no es exactamente así, ya que se trata de una indeterminación -no se sabe exactamente el resultado porque se desconoce qué infinito es-, aunque sirve para entender el concepto. ¿Y si se divide infinito entre infinito? La división de cualquier número entre sí mismo es igual a uno, y se podría pensar que en este caso es igual. Sin embargo, el resultado de esa operación es otra indeterminación, dado que, una vez más, no se sabe cuáles son esos infinitos.

Algunas operaciones básicas que involucran el concepto de infinito

El matemático Georg Cantor -uno de los más importantes de la historia, aunque profundamente denostado y marginado por sus contemporáneos- trabajó en la formalización del concepto de infinito para tratar de entender las numerosas paradojas que a lo largo del tiempo fueron surgiendo en torno a ese concepto. Una de las más famosas, conocida precisamente como la paradoja de Cantor, establece que el conjunto potencia -el conjunto de los subconjuntos de un conjunto- es mayor que su propio conjunto. Pero el conjunto de todos los conjuntos debe incluirlo como subconjunto propio. Por tanto, el conjunto potencia es y no es mayor que su propio conjunto.

No había un único infinito sino muchos, supo Cantor. Y luego se preguntó si todos los infinitos eran iguales. Imagen tomada de bbc.com

Otra paradoja, muy conocida y a la vez curiosa, es la llamada Hotel infinito de Hilbert, que consiste en imaginar un hotel de infinitas habitaciones en el que todas están ocupadas. Un viajero llega al hotel y solicita hospedaje, pero ya no queda espacio a pesar de la innumerable cantidad de habitaciones, estando el hotel totalmente ocupado. Entonces, la dirección del hotel, para no dejar a nadie sin habitación, hace lo siguiente: pide que el huésped del cuarto 1 se pase a la habitación 2, el huésped de la habitación 2 pase a la habitación 3, el huésped de la habitación 3 haga el movimiento a la 4 y así sucesivamente, de modo que el hotel que estaba lleno ahora tiene una vacante para el nuevo huésped. Con esta estrategia, el hotel tiene capacidad para un nuevo huésped, 10 nuevos huéspedes, un millón de nuevos huéspedes, o incluso un número infinito de nuevos huéspedes porque el hotel en sí tiene infinitas habitaciones. Esta paradoja fue propuesta por el matemático alemán David Hilbert (1862- 1943), y es una paradoja porque la definición de hotel lleno es que no hay vacantes para los nuevos clientes; sin embargo, si se dispone de infinitas habitaciones, aunque todos ellas estén llenas, siempre hay cabida para una serie de nuevos huéspedes, incluso infinitos -aquí es fácil de ver el concepto de distintos infinitos-.

Imagen tomada de neoteo.com

Por citar alguna más de entre muchas otras, está la paradoja conocida como la trompeta de Torricelli, que tiene lugar en una figura geométrica con la característica de poseer un área infinita pero un volumen finito. Fue ideada por el físico italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) hacia 1641, que la bautizó como sólido hiperbólico agudo. En el momento de su descubrimiento, fue considerado una paradoja porque sería necesaria una cantidad infinita de pintura para cubrir la superficie exterior, mientras que sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura y así cubrir esa superficie.

Imagen tomada de ingenieriabasica.es

No deja de ser paradójico que el ser humano, limitado y finito en sí mismo, encerrado en un espacio totalmente acotado -nuestro Planeta Tierra-, no pueda dejar de especular y de soñar con la idea del infinito y de perseguir de manera incansable pruebas para poder considerarlo como una entidad física real, porque como dijo William Shakespeare, «el hombre podría estar encerrado en una cáscara de nuez y sentirse rey de un espacio infinito». Pero por el momento, tan solo nos queda la magia de imaginarlo, de saber que podría estar ahí -o no-, ya que el infinito es una realidad cotidiana en las matemáticas pero no así en la física: ¿puede existir el infinito en la naturaleza? Las propiedades físicas medibles siempre arrojan valores finitos, y si se diera la circunstancia de obtener cantidades infinitas, ocurriría incluso que ciertas propiedades físicas dejaran de tener sentido. El tamaño del universo es, quizás, la única magnitud física para la que se considera plausible un valor infinito. Bueno, y según Einstein, también la estupidez humana.

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