El número de Dios

Todo lo que es bueno es bello, y la belleza no se da sin unas relaciones o proporciones regulares

Platón

Las matemáticas han sido, tradicionalmente, una materia árida y compleja, a la que muy pocos estudiantes le han tenido el aprecio que realmente merece. La causa de este desapego está en que el sistema educativo se ha empeñado, mediante sus aburridos y tediosos itinerarios curriculares, en hacerla difícil, engorrosa y nada agradable para el estudio. Además, muy pocos profesores de matemáticas -en cualquiera de los niveles educativos- han sabido transmitir a sus estudiantes el encanto de esta disciplina que no deja de ser el lenguaje de la naturaleza y de las ciencias y que, además, está omnipresente en nuestra vida cotidiana.

Según la Real Academia Española, las matemáticas son una ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones. Esos entes abstractos están debidamente clasificados y ordenados, como por ejemplo los números, los cuales se clasifican en números naturales «N», números enteros «Z», números racionales «Q», números reales «R» y números complejos «C».

Dentro de los números reales existen, además, los llamados números irracionales «I», aquellos que, en oposición a los números racionales, no pueden expresarse en forma de fracción porque cuentan con cifras decimales no periódicas de manera interminable o infinita. O lo que es lo mismo, nadie sabe cuál es la cifra exacta de un número irracional porque mientras se sigan haciendo cálculos, seguirán apareciendo decimales sin límite de espacio o tiempo.

En la familia de los números irracionales hay tres que son especialmente célebres y conocidos, ocupando un lugar privilegiado ya no solo dentro de las matemáticas, sino también en la ciencia y en la ingeniería por la extrema importancia de sus diversas aplicaciones. Véase, como ejemplo, el número pi π, gran protagonista de complejos trabajos de investigaciones que involucran tecnología punta en ingeniería aeroespacial o en astronomía, o el número e, base de los logaritmos naturales que además juega un papel fundamental en el cálculo y el análisis matemático. Junto a estas dos celebridades, existe otro que, si bien tiene su lado muy matemático, posee además muchas propiedades interesantes que pueden encontrarse tanto tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza, atribuyéndosele asimismo un carácter estético a los objetos cuyas medidas lo contienen y habiendo sido incluido en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes a lo largo de la historia, no sin un cierto aire de misticismo. Hablamos, como no, del número φ –phi, la 21ª letra del alfabeto griego-, también conocido como la proporción áurea, la divina proporción, el número áureo, el número de oro o el número de Dios, entre otros apelativos.

Como he indicado anteriormente, y dado que se trata de un número, φ tiene muchas e interesantes propiedades matemáticas. Por ejemplo, se halla en el triángulo de Kepler, un triángulo rectángulo formado por tres cuadrados con áreas en progresión geométrica de acuerdo al número áureo tal que así:

Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene que φ² = φ + 1, siendo φ = 1.618033988749894 … el único número real positivo que cumple con esta ecuación. Puede obtenerse, además, mediante fracciones continuas, fórmulas trigonométricas y raíces anidadas, entre otras operaciones. Y cómo no, está presente en el análisis matemático a través del cálculo de límites.

El número áureo puede hallarse también en todos los cuerpos y figuras geométricas regulares o semirregulares en los que haya simetría pentagonal, que sean pentágonos o que aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco, como por ejemplo en las relaciones entre las partes de un pentágono, en las relaciones entre las partes de una estrella pentagonal y en las relaciones entre las partes del decágono, entre otras.

Del mismo modo está relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo, y aparece también en el conocido como rectángulo dorado o rectángulo áureo, el cual posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón áurea. Si en este rectángulo se sustrae la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es igualmente un rectángulo dorado. Como ejemplo, rectángulo ADEF es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides (ca. 325 a.C. – ca. 265 a.C.) obtuvo su construcción en su tratado de geometría Elementos, que dicho sea de paso, es considerado uno de los libros de texto más divulgado en la historia y el segundo en número de ediciones publicadas, solo por detrás de la Biblia. 

Estas son solo algunas de las propiedades numéricas y geométricas de φ, pero tiene muchas más, de hecho, daría para un extenso artículo de matemáticas puras, aunque la realidad es que el objetivo de este artículo no es ese, sino más bien el de reflejar aquí las curiosidades de este número que ha fascinado a científicos, matemáticos y místicos desde la Antigüedad y que goza de presencia en algunas de las creaciones más hermosas de la naturaleza y de las artes. Por supuesto, para entender la importancia y el carácter especial de φ hay que empezar por conocer su historia, que se remonta, según la mayoría de los científicos y estudiosos, al Antiguo Egipto, ya que para muchos la Gran Pirámide de Guiza (ca. 2600 a.C.) es el origen de la proporción áurea.

Algunos autores sugieren que el número áureo pudo haber sido descubierto y utilizado de forma consciente en Babilonia y Asiria de alrededor de 2000 a.C., pero lo cierto es que no existe documentación histórica que indique este hecho, al igual que tampoco puede demostrarse su utilización en la construcción de las pirámides. Hay que tener en cuenta que, cuando se miden estructuras complejas, no es algo difícil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles, y más aún si consideramos que muchas de esas medidas están tomadas por mentes creativas que buscan obtener como sea el número áureo en estructuras históricas ya de por sí envueltas en un halo de misticismo.

Se cree que el filósofo griego Platón (c. 428-347 a.C.) pudo haber estudiado el número áureo e incluso haber desarrollo teoremas relacionados con el mismo, y consideró además que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos -quizá entre ellos también el número áureo-, eran de particular importancia y la llave de la física del cosmos, opinión ésta que tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores.

El primero del que se tiene constancia que hizo un estudio formal y documentado del número áureo fue Euclides, quien lo describió de la siguiente manera en la Definición 3 del Libro Sexto de sus Elementos: «Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor».

Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros; o lo que es lo mismo, φ = 1.61803398874989… es un número irracional. Hay que indicar que en este periodo de la historia aún no lleva el apellido áureo, llegándole éste muchos siglos después.

Fue en el siglo XIII cuando el matemático italiano Leonardo de Pisa (ca. 1170 – 1240), conocido simplemente como Fibonacci y considerado el matemático occidental de mayor talento de la Edad Media, difundió en Europa la utilidad práctica del sistema de numeración indo-arábigo frente a la numeración romana y describió, en su libro Liber Abaci, publicado en 1202, la serie numérica conocida como la sucesión de Fibonacci. 

Si en esta sucesión se divide cualquier número por el anterior, por ejemplo, 55/34, o 21/13, el resultado es siempre cercano a 1.61803. Esos números se pueden aplicar a las proporciones de un rectángulo, llamado el rectángulo dorado, considerado como una de las formas geométricas más satisfactorias visualmente, el cual está también relacionado con la espiral dorada, que se crea al hacer cuadrados adyacentes de dimensiones de Fibonacci.

Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por el reconocido matemático francés Édouard Lucas (1842 – 1891), a quien debemos además el nombre por el que es conocida en la actualidad; también el astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler (1571 – 1630) describió los números de Fibonacci y se refirió al número áureo en los siguientes términos: «La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de plata; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa». El matemático escocés Robert Simson (1687 – 1768) descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos F_n y F_n+1 se acerca a la relación áurea φ cuando n tiende a infinito.

En 1509 el fraile, economista y matemático italiano Luca Pacioli (1445 – 1517) publicó De Divina Proportione, donde plantea cinco razones por las que estima apropiado considerar divino al número áureo -en estas fechas aún no llevaba el apelativo de áureo-, a saber: la unicidad, comparando el valor único del número áureo con la unicidad de Dios; el hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, hecho por el cual lo asocia con la Trinidad; la inconmensurabilidad, equivalente a la inconmensurabilidad de Dios; la autosimilitud asociada al número áureo, la cual compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios; y por último, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro, el número áureo dio ser al dodecaedro.

En 1525, el pintor y grabador alemán Alberto Durero (1471 – 1528) publicó Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas, donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral áurea basada en la sección áurea, que se conoce como la espiral de Durero.

No fue sino hasta el siglo XIX, más concretamente en 1835, que se acuñó y dio popularidad al adjetivo áureo, dorado o de oro para referirse a este número, cuando el matemático alemán Martin Ohm (1792 – 1872) -hermano del célebre físico Georg Simon Ohm-, en la segunda edición de su libro Las matemáticas puras elementales, dejó escrito en una nota al pie: «Uno también acostumbra a llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como estas la sección dorada».

Por aquella época, los textos de matemáticas que de algún modo se referían al número áureo lo hacían empleando la legra tau τ, del griego τομή, que significa corte o sección. Pero en 1900 el ingeniero eléctrico, físico, inventor y erudito estadounidense James Mark McGinnis Barr (1871 – 1950) propuso la notación estándar  para el número áureo en honor a Fidias (500 a.C. – 431 a.C.), el más famoso de los escultores de la Antigua Grecia, ya que la primera letra de su nombre escrito en griego Φειδίας es phi -φ en minúscula-. El porqué de este honor concedido al escultor radica en el incomparable valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo.

Lo que está claro es que, independientemente del nombre que se le haya dado a lo largo de la historia, este número ha acaparado la atención de pensadores, matemáticos, arquitectos e incluso de teólogos, que han reflexionado profundamente acerca de la relación establecida entre la proporción áurea y la naturaleza que le rodea, apareciendo de manera insospechada en lugares ciertamente de lo más peculiares. Así, puede encontrarse en algo tan grande como las espirales que dan forma a la galaxia Messier 51 o NGC 5194, también conocida como la Galaxia Remolino, o también en la galaxia donde se encuentra el sistema solar y a su vez se halla nuestro planeta Tierra, la Vía Láctea, cuyos brazos se armonizan en torno a esta proporción.

Además, bajo determinadas circunstancias los huracanes y las tormentas tropicales tienden a adoptar la forma de una espiral áurea, que, recordemos, es aquella que se construye a partir de rectángulos áureos cuya relación entre sus lados es igual a la divina proporción.

Asimismo, hay numerosos ejemplos de la proporción áurea en la naturaleza que pueden ser observados en las flores, en las conchas marinas, en las piñas, en los cuernos del macho de muflón e incluso en algunos tipos de panales de abejas, que exhiben la misma relación en su composición.

En el propio cuerpo humano, el cociente entre la estatura de una persona y la distancia del ombligo a los pies es aproximadamente el número áureo. En la investigación sobre la odontología se ha demostrado que la dentadura va creciendo según la proporción áurea. En las manos, las falanges están en sucesión áurea, y también aparece esta relación en los brazos y en las orejas.

Numerosos estudios han demostrado que la percepción de la belleza está estrechamente relacionada con la proporción áurea, o lo que es lo mismo, aquello que matemáticamente más se aproxime a φ, se percibirá como más bello y perfecto. Por ejemplo, la composición fotográfica que sigue las proporciones áureas ayuda en el mundo del diseño editorial para ofrecer un espacio adecuado para cabezas y cuerpos de texto, y es una manera efectiva de dotar a una imagen de un cierto orden y armonía.

Esta noción de belleza y perfección es aplicable a campos tan dispares como la arquitectura, las artes plásticas, la música, la geometría y la estética de las personas. No en vano, ha sido utilizada, entre otros muchos, en el famoso cuadro Leda atómica, pintado en 1949 por el pintor español Salvador Dalí, el cual está organizado de acuerdo con un marco matemático rígido siguiendo la proporción áurea, calculado por el artista siguiendo las recomendaciones del matemático rumano Matila Ghyka. Leda y el cisne están ambientados en un pentágono dentro del cual se ha insertado una estrella de cinco puntas de la que Dalí hizo varios bocetos.

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El número áureo también aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de celebradísimos artistas como Miguel Ángel, Alberto Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros. Llegados a este punto, hay que decir que en la representación del Hombre de Vitruvio no aparece el número áureo, sino que para esta obra, Leonardo da Vinci siguió estrictamente las proporciones fraccionarias del cuerpo humano que el arquitecto, escritor, ingeniero y tratadista romano Marco Vitruvio Polión (c. 80 – 70 a.C. – 15 a. C.) describe en su libro De architectura, concretamente en el Capítulo I del Libro Tercero, “El origen de las medidas del Templo”.

El número áureo no ha pasado desapercibido para los grandes compositores de la historia de la música a la hora de crear algunas de las piezas más bellas jamás concebidas, de ahí que puedan hallarse multitud de ejemplos de obras musicales en las que se ha empleado la divina proporción como base para su construcción. Es evidente que conseguir que la música se ajuste con exactitud a la sección áurea no es tarea sencilla, y en la mayoría de los casos, lo que se busca es una aproximación a esta proporción, pudiéndose encontrar además ejemplos de piezas que responden a la idea de sección áurea sin que el compositor lo haya buscado de una manera consciente. Mozart, Beethoven y Bela Bartok, entre otros, emplearon el número φ en la creación de algunas de sus mejores obras.

De igual manera aparece en la literatura, en algunos de los títulos más celebrados de la novela histórica y de aventuras. Así, en el bestseller El código da Vinci de Dan Brown, aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5) que funcionan como una pista dejada por el conservador del museo del Louvre, Jacques Saunière, y además, se explican algunas de las apariciones de φ = 1.618 en la naturaleza y el ser humano, mencionando que las distancias entre nuestro cuerpo son proporcionales entre sí, como las de la pierna al muslo, el brazo al antebrazo, etc. El historiador español José Luis Corral escribió El número de Dios, una historia ambientada en la Edad Media en la que saca a relucir la secreta proporción que manejan los constructores para erigir las majestuosas catedrales góticas, que permite “imitar a Dios” levantando edificios de una altura y esbeltez imposibles hasta ese momento. Y el astrofísico israelí-estadounidense Mario Livio escribió un completísimo, ameno y muy divulgativo libro titulado La proporción áurea: La historia de Phi, el número más sorprendente del mundo, en el que hace un profundo análisis de este número y muestra muy detalladamente su papel en la naturaleza, las artes y la arquitectura.

No faltan los que aseguran que el número áureo puede hallarse también en los celebres violines Stradivarius, y en objetos tan cotidianos como las tarjetas de créditos, las tarjetas de identificación personal como el DNI, las cajetillas de tabaco o incluso en el logo de Apple, aunque estas aseveraciones están sujetas a unas mediciones no exentas de errores y que dependen mucho de la mano que mide, que puede aplicar más o menos precisión dependiendo de cuánto desea obtener este místico número por doquier en detrimento de la exactitud de las medidas y de las matemáticas empleadas.

En la arquitectura, quizás el ejemplo más célebre de utilización del número áureo sea el de la Gran Pirámide de Guiza, al que ya he hecho referencia anteriormente. Este se basa en la afirmación del historiador y geógrafo griego Heródoto (484 a.C. – 425 a.C.), quien aseguraba que la altura de la pirámide y la altura de cualquiera de las caras triangulares laterales guardan relación en base a φ. Pese a ser defendida esta tesis por algunos matemáticos modernos y resultar teóricamente con sentido, hay que decir que una construcción de semejante tamaño contiene errores inevitables, más si cabe en referencia a la tecnología de la que se disponía hace 4.500 años, que en la práctica solo podía manejar con cierta exactitud números racionales. Otros estudios más recientes señalan que las medidas empleadas por Heródoto para establecer su teoría son incorrectas y que, al parecer, la Gran Pirámide de Guiza no se diseñó expresamente utilizando la proporción dorada.

Para los antiguos griegos, la sección áurea representaba la ley matemática de la belleza, y según afirman muchos estudiosos, puede hallarse con cierta frecuencia en su arquitectura clásica. Uno de los más famosos edificios de la Antigua Grecia, el Partenón de Atenas (siglo V a.C.) utiliza el número áureo como elemento de diseño para su construcción. Al parecer, si se toma como elemento inicial la altura, dándosele el valor 1, se observa que la base frontal es 1.618, es decir, la base del frente es la altura multiplicada por φ. Y si se analizan los distintos elementos que forman la construcción, aparentemente la relación se repite.

Hay también quien afirma que el número áureo puede verse, igualmente, en la Torre Eiffel, en la Catedral de Notre Dame e incluso en el Coliseo romano, aunque no hay ninguna prueba o estudio concluyente que corrobore estas afirmaciones, más dudosas si cabe que las que involucran a la Gran Pirámide de Guiza y al Partenón y más propias de un afán desmesurado por querer ver el número áureo en cualquier lugar romántico, histórico o envuelto en un cierto halo de misterio y misticismo. Sin embargo, puede verse con certeza en la Capilla de Acción de Gracias de Dallas (Estados Unidos) y en la escalera de Bramante de los Museos Vaticanos (Ciudad del Vaticano).

Un número tan antiguo como el saber humano, que ha levantado pasiones durante siglos y ha acaparado los esfuerzos y la atención de algunas de las mentes más brillantes de la historia de la filosofía y las matemáticas. Un número que puede encontrarse por todas partes y que, pese a todo, pasa totalmente desapercibido en la mayoría de las ocasiones. Pero una cosa sí parece ser cierta, y es que en general, cuando algo resulta estéticamente atractivo, es porque esconde la proporción áurea entre sus elementos. Porque la naturaleza, no lo olvidemos, es la artista por excelencia y emplea, siempre, el lenguaje matemático.

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Bibliografía utilizada

Para la redacción de este artículo me he basado, principalmente, en el genial artículo de Wikipedia titulado Número áureo, el cual aporta una cantidad ingente de información, y su estructura me ha sido de gran ayuda a la hora de organizar el contenido de este artículo. Todas las demás fuentes de las que he tomado imágenes o datos están debidamente citadas y con un enlace directo hacia sus páginas web, debajo de dichas imágenes o dentro del texto del artículo cuando así es requerido. Aún así, me gustaría destacar la calidad de los artículos de la sección de Ciencia del diario ABC, en especial este titulado Las matemáticas ocultas detrás de la escalera de Bramante y este otro de BBC News titulado Fibonacci, el matemático que se puso a contar conejos y descubrió la secuencia divina, que me han aportado datos curiosos e imágenes con los que enriquecer el texto.

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