Ajedrez y matemáticas

A finales de octubre de 2020 apareció, en la plataforma de distribución de contenidos audiovisuales Netflix, la serie Gambito de Dama, una historia ficticia ambientada en las décadas de 1950 y 1960 cuya protagonista es una huérfana prodigio del ajedrez que, a la vez que lucha con problemas emocionales y con una fuerte dependencia a las drogas y al alcohol, llega a convertirse en la mejor jugadora del mundo en una disciplina reservada, hasta entonces, única y exclusivamente a los hombres y en la que dominaron durante años y de forma apabullante los soviéticos, tradicionalmente ajedrecistas de un altísimo nivel. Un interesantísimo y emocionante drama tras el cual hay mucha, mucha sustancia y también, mucha matemática.

Quizá muchas personas que hayan visto la serie y se hayan maravillado durante su desarrollo, desconozcan qué es realmente el gambito de dama, o ya no, dado que la afición por el ajedrez se ha visto incrementada notablemente debido a esta exitosa emisión. El gambito de dama es una apertura de ajedrez. ¿Qué es una apertura? En el ajedrez, las tres fases de una partida son la apertura, el medio juego y el final. Pues bien, la apertura es la fase inicial del juego, en la que se procede a desarrollar las piezas desde sus posiciones iniciales. Hay docenas de aperturas diferentes, entre ellas la apertura española (🔗) y el ya mencionado gambito de dama, caracterizado por los movimientos siguientes: 1.d4 d5 2.c4 dxc4.

Llegado a este punto, no puedo continuar el artículo sin antes aportarle unas breves pinceladas acerca del ajedrez propiamente dicho. Como la inmensa mayoría ya conoce, se trata de un juego de mesa entre dos contrincantes, en el que cada uno dispone de 16 piezas que se colocan sobre un tablero. En su versión de competición está considerado como un deporte, aunque en realidad es mucho más que eso y claramente tiene una gran dimensión social, educativa y terapéutica. El objetivo último es derrocar al rey del oponente; es pura estrategia, calculando movimientos para lograr amenazarlo con alguna de las piezas propias sin que el otro jugador pueda protegerlo, lo que trae como resultado el jaque mate y el fin de la partida. Se cree que el ajedrez tiene su origen en la India septentrional, inicialmente como un juego para cuatro. Este ajedrez primitivo se conocería en Persia como chaturaṅga (चतुरङ्ग en sánscrito, que significa cuatro fuerzas). Es precisamente de este nombre de donde procede la actual palabra para denominar al juego, ya que de chaturaṅga evolucionó a čatrang (en pelvi, antigua lengua persa), de ahí a šiṭranǧ (en árabe clásico) y más tarde a aššaṭranǧ o aššiṭranǧ (en árabe hispánico). Así, evolucionando a través del tiempo, la palabra atravesó épocas y fronteras y desde el árabe hispánico pasó al castellano, convirtiéndose en el término que usamos en la actualidad: axatrazaxedrezajedrez.

Disposición inicial de las piezas del chaturaṅga, precedente del ajedrez actual. Imagen tomada de es.wikipedia.org

Tras la conquista de Persia por los árabes, el juego continuaría desarrollándose a la vez que seguía los caminos de las expansiones islámicas. Fue bajo los auspicios de éstos que el juego llegó a su primera etapa de gran esplendor, destacando entre ellos algunos ajedrecistas de élite de la época y escribiéndose el primer manual de ajedrez. El juego entró en Europa a través del Imperio bizantino, donde adquirió especial popularidad en su capital, Constantinopla, para pasar posteriormente a Rusia, donde comenzó a jugarse desde comienzos del siglo VIII. Los árabes lo difundieron en Occidente, llevándolo al norte de África y Europa y a la actual España e Italia alrededor del siglo X, desde donde se extendió al resto del continente llegando a la región de Escandinavia e Islandia. En Oriente, el ajedrez se expandió en el siglo X desde su versión china, el Xiangqi, a Corea y Japón.

El texto europeo más antiguo que contiene las reglas del juego es un libro del alto medioevo, titulado Versus de Scachis, escrito en versos latinos en la primera mitad del siglo X por un compositor anónimo, proveniente del norte de Italia. ​ Del siglo XII procede un poemario compuesto en hebreo por el filósofo sefardí Abraham ibn Ezra (1089-1164), y en el siglo XIII se escribió, bajo el patrocinio del rey Alfonso X el Sabio, un famoso manuscrito titulado Libro de los juegos (🔗), que trata sobre el ajedrez, las tablas reales y los dados.

Detalle del Libro de los juegos. Imagen tomada de ancientgames.org

Hacia finales del siglo XV comenzaron a cambiar las reglas de manera decisiva, regulándose los movimientos del peón, el alfil y la dama, ya que hasta entonces el peón solo podía dar un solo paso en el primer movimiento -ahora podía dar dos-, el alfil solo podía saltar dos casillas -ahora ya podía avanzar cualquier distancia- y la dama, antes llamada alferza, podía avanzar únicamente una casilla en dirección diagonal -ahora ya podía moverse a discreción en cualquiera de las ocho direcciones, con lo que pasó de ser una figura relativamente débil a convertirse en una realmente fuerte y temible dentro del tablero-. Con este cambio en los movimientos, se dotó al ajedrez de la gran espectacularidad que antes no tenía. Estos ajustes, aparentemente ligeros, cambiaron el juego completamente y dieron lugar al nacimiento del ajedrez moderno. Ahora exigía nuevas tácticas, aperturas y mucha más velocidad, factores que contribuyeron a un auge de su popularidad. Se cree que estas novedades fueron introducidas en Valencia entre los años 1470 y 1490 y se manifestaron en el poema valenciano Scachs d′amor (🔗), el documento más antiguo conocido sobre el ajedrez moderno, compuesto por los famosos ajedrecistas valencianos Francesc de Castellvi, Narcis Vinyoles y Bernat Fenollar. En el año 1495, Francesch Vicent publicó el Libre dels Jochs Partits dels Scachs en Nombre de 100 ordenat e compost, el primer tratado de ajedrez moderno del mundo y del que hay que decir, por desgracia, que con el paso del tiempo se han perdido todos los ejemplares impresos, siendo el último del cual se tiene noticia uno guardado en la librería del Monasterio de Montserrat (situado en la montaña de Montserrat, perteneciente a la comarca del Bages, provincia de Barcelona), perdiéndose su rastro en 1811 durante la Guerra de la Independencia cuando los soldados franceses se atrincheraron en él y utilizaron los viejos pergaminos para confeccionar cartuchos. En la actualidad no se dispone de ningún ejemplar de este libro, aunque existen razones para creer que debe conservarse alguno. De hecho, incluso se ofrece una buena recompensa a quien encuentre uno, y no pocos cazatesoros peinan EE UU en su busca (🔗), ya que se cree que esta maravillosa obra sobre ajedrez del siglo XV puede estar mal catalogada en alguna biblioteca o archivo privado americano. En el año 2005 el periodista, autor e investigador valenciano José Antonio Garzón, a través del estudio de unos manuscritos que se conservan en Italia, consiguió recrear el libro, plasmándolo en el suyo propio titulado El regreso de Francesch Vicent: La historia del nacimiento y expansión del ajedrez moderno. En el año 1497 apareció un libro de ajedrez del eclesiástico y ajedrecista español Luis Ramírez de Lucena, titulado Repetición de Amores y Arte de Ajedrez, con 150 juegos de partido, publicado en Salamanca ese mismo año.

Imagen tomada de comarcalcv.com

A principios del siglo XVI surgieron en la península ibérica y en Italia círculos de ajedrecistas profesionales, y a finales del mismo era el sacerdote español Ruy López de Segura el mejor jugador del mundo, aunque fue derrotado en 1575 en el primer torneo internacional de la historia organizado en la corte de Felipe II por el calabrés Giovanni Leonardo da Cutro. Y a partir de aquí, la popularidad del juego se disparó, las partidas comenzaron a ser registradas con mayor frecuencia y siguió la publicación de varios estudios teóricos. En el siglo XVIII se fundaron los primeros clubes para la práctica de ajedrez y federaciones deportivas en Europa, y debido a la gran cantidad de pequeños torneos que tenían lugar por todo el continente, en 1851 se celebró el primer torneo internacional moderno en Londres. El prestigio de las competiciones internacionales llevó a la creación del título de campeón del mundo, ganado oficialmente y por primera vez por el austríaco Wilhelm Steinitz en 1886. En 1924 se fundó en París la Federación Internacional de Ajedrez (🔗), más conocida como FIDE, por el acrónimo de su nombre en francés Fédération Internationale des Échecs, y en 1927, bajo su patrocinio y organización, se celebraron las primeras Olimpiadas de Ajedrez, uno de los torneos ajedrecísticos más importantes del mundo, que tiene lugar cada dos años y en el cual participan los mejores jugadores del momento a nivel global.

Wilhelm Steinitz (1836-1900). Imagen tomada de es.wikipedia.org

Antes de concluir esta parte del artículo, en la que se aborda por encima y en líneas muy generales la historia del juego, es necesario hacer mención de la escuela soviética de ajedrez (🔗), ya que sin ella, no podría entenderse el ajedrez táctico y dinámico que se juega en las altas competiciones a día de hoy. Tras la Segunda Guerra Mundial, la Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas (URSS) se alzó como la gran potencia mundial en el ajedrez, contando esta actividad con el apoyo incondicional del estado y permitiendo así que los jugadores pudieran profesionalizarse. Si se lee entre líneas, no es de extrañar que esto ocurriese, ya que en un régimen totalitario comunista que venía de destruir el poder absoluto de los antiguos zares -ese poder absoluto lo único que hizo fue cambiar de manos, dicho sea de paso-, un juego cuyo objetivo último es destruir al rey tiene necesariamente un profundo significado subversivo. De este modo, los soviéticos impusieron su hegemonía en el mundo del ajedrez y la defendieron con puño de hierro durante más de cuarenta años -desde finales de la década de 1940 hasta finales de la de 1980-, obteniendo aplastantes victorias en todo tipo de campeonatos, con la exhaustiva preparación de aperturas, un estilo altamente dinámico en el tratamiento de las posiciones y la agresividad como características fundamentales de su juego. Es ampliamente aceptado que la escuela soviética de ajedrez fue fundada por Mikhail Botvinnik, el cual, desde 1970 y después de haberlo ganado absolutamente todo, fue retirándose paulatinamente del juego competitivo para dedicarse al desarrollo de programas de ajedrez para ordenadores y para cooperar en el desarrollo de jugadores jóvenes, entre los que se encontraron los campeones mundiales Anatoli Kárpov y Garri Kaspárov, dos de los muchos alumnos de su escuela.

El campeón mundial de ajedrez, Tigran Petrosián (a la izquierda) durante una sesión de ajedrez simultánea con el cuerpo diplomático en Moscú (1964). Imagen tomada de es.rbth.com

Como ya mencioné al comienzo del artículo, el ajedrez es un juego de mesa que goza de un gran prestigio social, además de ser una eficiente herramienta educativa y terapéutica. Y es precisamente su estrecha relación con las matemáticas uno de los factores que contribuye enormemente a que así sea. Unas matemáticas sutiles aunque bastante manifiestas, aun cuando ni siquiera somos conscientes de ello en un primer contacto, porque por ejemplo, la imagen del tablero nos resulta tan familiar, que sólo tenemos en cuenta las piezas en él situadas y no pensamos en otras de sus características, fundamentales por cierto. El tablero es, en sí mismo, geometría pura. Es un cuadrado dividido en 64 casillas -o escaques– también cuadradas, con unas dimensiones de ocho casillas de ancho por ocho de largo, alternativamente de color claro y de color oscuro. Cada jugador se sitúa de cara a su contrincante, colocando el tablero de manera tal que cada jugador tenga una casilla blanca en su esquina derecha. La notación oficial empleada en el mundo del ajedrez para poder reproducir y comentar las partidas es la notación algebraica, un sencillo sistema para identificar cada una de las 64 casillas del tablero y anotar los movimientos del juego, numerando las filas del 1 al 8 y asignando a las columnas las letras a, b, c, d, e, f, g, h.

Los elementos básicos del tablero son la fila, cada una de las ocho líneas horizontales de ocho casillas, nombradas con números del 1 al 8, comenzando desde la primera fila con respecto al bando de las piezas blancas; la columna, cada una de las ocho líneas verticales de ocho casillas nombradas con letras minúsculas de la a hasta la h, comenzando desde la primera columna izquierda con respecto al bando de las piezas blancas; la diagonal, cada una de las 16 líneas que se forman agrupando las casillas diagonalmente, de las cuales, las mayores tienen ocho casillas; el centro, los cuatro escaques centrales, que por extensión, a veces se incluyen los 12 que rodean a esos cuatro; las esquinas, cada una de las cuatro casillas ubicadas en las esquinas del tablero; y por último, los bordes, las dos columnas (a y h) y las dos filas (1 y 8) situadas en los extremos del tablero.

Diagrama mostrando el centro y centro extendido o ampliado. Imagen tomada de es.wikipedia.org

Estas características esenciales crean una geometría única y distintiva en el tablero de ajedrez, que lo dotan a su vez de un gran valor estético, y no es una casualidad que se trate de una figura muy utilizada en composiciones artísticas y en diseño gráfico, ya que las combinaciones resultantes a partir de motivos geométricos producen una fuerte impresión y son estéticamente muy agradables. Pero este peculiar terreno de juego no es caldo de cultivo solo para las artes visuales, sino que además, lo es para las matemáticas puras, ya que, precisamente a raíz de su geometría, surgió una curiosa leyenda que liga de manera indisoluble al ajedrez con las ciencias exactas. En ella, el protagonista, un rey que gobernó en la antigua India, rico y poderoso, cayó en una profunda melancolía por haber perdido a su hijo y heredero en una batalla, descuidando de forma severa su reino y sus posesiones. Preocupado por el cariz que estaba tomando la situación, un sabio de su corte llamado Sissa decidió inventar un juego que consiguiera devolverle parte de su alegría al rey, además de hacerle comprender los errores de estrategia cometidos en la guerra que se llevó a su hijo. Tras reflexionar largo tiempo, Sissa, con su juego preparado, decidió presentarse frente a su rey para mostrárselo. Así pues, puso ante el rey un tablero de madera con 64 casillas y 32 figuritas, también de madera. Tras explicarle a su rey que era un juego de guerra en el que participaban dos personas, y explicarle sus reglas, se pusieron a jugar. Entusiasmado por el juego que acababa de descubrir, el rey jugó durante semanas, contra todos sus ministros, consejeros y todo aquel que estuviese dispuesto a retarle.  Tremendamente agradecido al sabio por haberle mostrado tan brillante invento, le ofreció a Sissa cualquier cosa que este quisiera. Tras mucho insistir, dado que Sissa se negaba a aceptar sus regalos, el sabio accedió y le pidió lo siguiente: Quiero un grano de trigo en la primera casilla del juego, y 2 en la segunda, y 4 en la tercera, y así sucesivamente… El rey, extrañado porque alguien con tanta sabiduría y capaz de crear un juego como aquel se conformase con tan poca cosa, ordenó a los matemáticos de la corte que calcularan el número total de granos de trigo y se lo dieran a Sissa. Tras unas horas calculando, le comunicaron al rey lo siguiente: Su majestad, no hay en el reino cantidad suficiente de trigo para saldar la deuda con el sabio Sissa.

Repartiendo los granos en cada casilla del tablero… Imagen tomada de matematicascercanas.com

¿Cómo es posible? ¿Algo tan pequeño como un tablero de ajedrez puede generar una cantidad tan grande que ni siquiera un reino la puede abarcar? Tuvieron que equivocarse, esos matemáticos, haciendo las operaciones a mano… podríamos pensar. Pero no, no se equivocaron. Realmente estaban en lo cierto, y veamos porqué. La solución a las bravas consiste en duplicar manualmente cada potencia de dos e ir acumulando la sumatoria correspondiente a esa serie geométrica, donde T64 corresponde al número total de granos:

Esta serie puede ser expresada como exponentes:

y representarse en notación de sumatoria como:

O lo que es lo mismo,

Para alcanzar un orden de magnitud acerca de la descomunal cantidad de trigo de la que estamos hablando, se puede estimar que el peso de 1.000 granos de trigo es de aproximadamente unos 40 gramos, con lo cual, en un kilo de trigo hay aproximadamente 25.000 granos, entonces:

Vamos a hilar aún más fino: en el año 2019, la producción mundial de trigo alcanzó los 2.720 millones de toneladas, o lo que es lo mismo, 2.720.000.000.000 kg. ¿Cuántas producciones mundiales anuales (como la de 2019, que fue considerada récord) harían falta para pagarle al sabio?

Es decir, al bueno de Sissa habría que estar regalándole las cosechas mundiales anuales durante más de dos siglos y medio para estar en paz con él. Y todo eso salido de un pequeño tablero de ajedrez. ¿No es asombroso?

¿Y qué decir de las jugadas, es decir, de los movimientos que cada jugador realiza con una determinada pieza? Bien es sabido que el ajedrez es un juego de estrategia en el que hay que resolver constantemente los distintos problemas que se plantean sobre el tablero. Y precisamente hay un método llamado modelo de Guzmán, que se emplea para resolver problemas matemáticos, y que puede adaptarse perfectamente al desarrollo del juego. Fue desarrollado por el matemático, docente y divulgador español Miguel de Guzmán (1936-2004), y contempla cuatro etapas necesarias para llegar a la resolución de un problema: familiarización con el mismo, búsqueda de estrategias, puesta en práctica de la estrategia elegida y, por último, revisar el proceso y sacar conclusiones. Es decir, un método ideado por un matemático para resolver problemas matemáticos es perfectamente aplicable a cada una de las jugadas del ajedrez, incluida la apertura o jugada inicial, haciendo evidente que el juego no es otra cosa que matemática pura, pero sin números. Aunque si somos objetivos, el modelo de Guzmán es aplicable a todas y cada una de las facetas de la vida, a excepción, claro es, de las relaciones humanas.

Miguel de Guzmán. Imagen tomada de tocamates.com

En los finales de partida, la geometría del tablero juega un papel fundamental, y los primeros jugadores y estudiosos emplearon la geometría y el pensamiento matemático para su análisis. Por ejemplo, la regla del cuadrado permite saber si el peón va a coronar -convertirse en otra pieza más poderosa, elegida por el jugador- o no, en función de la posición del rey contrario, dependiendo de una cuestión geométrica. La regla del cuadrado se formula de la siguiente manera: un peón llega a coronar si el número de filas entre el peón y la casilla de coronación es menor que el número de columnas entre el peón y el rey enemigo.

La disposición de las casillas conjugadas, es decir, el grupo de casillas que están ocupadas por el bando débil y por el bando fuerte interaccionando entre sí en forma de amenaza y defensa en los finales de reyes y peones, también está fuertemente condicionada por la geometría, así como la teoría de los finales de torre, regida también por reglas geométricas para resolver la partida, de modo que al final, todo se resume a un conjunto de reglas matemáticas de cómo ganar o hacer tablas en dichos finales.

No tardaron mucho los matemáticos en fijarse en el tablero de ajedrez como una excelente base para la proposición de problemas matemáticos. Así, el ajedrecista alemán Max Bezzel (1824-1871) propuso el problema de las ocho reinas, un pasatiempo que consiste en poner ocho reinas en el tablero de ajedrez sin que se amenacen entre ellas. El problema fue originalmente propuesto en 1848 y durante años, muchos matemáticos, incluyendo a Gauss y a Georg Cantor, trabajaron en él y lo generalizaron a n-reinas. En 1874, S. Günther propuso un método para hallar las soluciones usando determinantes. Este rompecabezas puede generalizarse a cualquier pieza, con el objetivo de colocar el máximo número de ellas sobre el tablero sin que lleguen a atacarse entre sí.

Diagrama para la solución del problema. Imagen tomada de infor.uva.es

¿Cuál es el número máximo de caballos que se pueden poner en un tablero de ajedrez
de manera que ningún caballo ataque a otro?

Los caballos colocados en casillas del mismo color no se atacan entre sí, por tanto, el número máximo es 32.

Imagen tomada de ec.europa.eu

Entre los problemas matemáticos inspirados en el ajedrez, uno de los más interesantes es el problema del caballo, que consiste en recorrer las 64 casillas del tablero con un caballo colocado en una posición cualquiera (x, y), pasando por todas las casillas y una sola vez. Hay dos opciones, una, comenzar y terminar en la misma casilla dibujando un circuito cerrado, y la otra es comenzar en una casilla y terminar en otra diferente. Este problema, aparentemente sencillo, ha acaparado la atención de matemáticos de casi todas las épocas, remontándose los primeros estudios del mismo al siglo IX, cuando se recogieron en un manuscrito algunas soluciones halladas por ajedrecistas árabes. Sin embargo, fue hacia mediados del siglo XVIII cuando el problema despertó una gran curiosidad entre los círculos matemáticos europeos, principalmente por el enorme número de soluciones posibles.

Por el año 840 se conocían ya dos recorridos, uno abierto atribuido a Ali C. Mani y uno cerrado atribuido a al-Adli ar-Rumi, ambos ajedrecistas árabes. Imagen tomada de abc.es

Muchos matemáticos han buscado una solución a este problema, entre ellos Leonhard Euler, y aunque ciertamente se han hallado muchas soluciones, la realidad es que no se sabe con seguridad de cuántas maneras diferentes es posible solucionarlo. En 1995 se calcularon, con el uso de computadoras, más de 33 billones de soluciones posibles, concretamente 33.439.123.484.294 variantes para el paseo del caballo sin repetir ninguna casilla. Lo que sí es seguro es que encontrar una solución simplemente moviendo el caballo tanteando y de forma aleatoria es imposible, y pocos han sido capaces de encontrar un método que facilite el proceso. Por ejemplo, Euler dividió el tablero en cuatro partes, en subtableros de 16 casillas (4×4) y mediante la búsqueda de patrones, la simetría y haciendo uso de su agudeza matemática, logró resolver el problema.

Solución para 63 saltos de caballo por las 64 casillas. GIF de es.wikipedia.org

A las figuras de arriba se les denomina poligrafías, que en el ajedrez -fuera del mismo tiene otros significados y usos- son los recorridos que puede realizar una pieza por todo el tablero sin pasar dos veces por la misma casilla. Abajo, a la izquierda, se muestra la poligrafía de una dama cerrada y simétrica respecto del centro del tablero, y a la derecha, una poligrafía de una torre cerrada y simétrica respecto de los dos ejes.

Y estas son poligrafías del rey y el alfil:

Hay otros aspectos dentro de un tablero de ajedrez capaces de empequeñecer al gigantesco 264 – 1, o lo que es lo mismo, el del número de granos de trigo que se le adeudan al sabio Sissa. Y es que, por ejemplo, si consideramos el número de movimientos diferentes que se pueden hacer con las piezas blancas en la primera jugada, fácilmente puede verse que son 20: cada uno de los ocho peones puede mover de dos formas distintas, adelantando una o dos casillas, y cada uno de los caballos puede ir a dos casillas diferentes. Y dado que a cada movimiento incial de las blancas las negras pueden responder, asimismo, de 20 maneras distintas, tras la primera jugada de las negras hay 20·20 = 400 combinaciones posibles. En realidad, tan sólo unas cuantas de estas 400 situaciones se dan en una partida real, porque la gran mayoría de los movimientos no tendrían sentido, pero para llevar a cabo el análisis matemático de las jugadas posibles, hay que considerarlas todas. Puede que 400 posibilidades no parezcan muchas, pero es que nos estamos refiriendo solamente a la apertura de la partida, es decir, al movimiento inicial de las blancas y al inicial de las negras, teniendo en cuenta, además, que la mayoría de las piezas, a excepción de los caballos, están bloqueadas por los peones.

Tras el segundo movimiento de las blancas, las situaciones posibles son ya más de 5.000, y tras el segundo movimiento más de 70.000. Tras el tercer movimiento de las blancas hay más de 800.000 posiciones posibles, y más de 9.000.000 tras el tercero de las negras. Finalmente se ha estimado, mediante cálculos aproximativos, que el número de situaciones distintas que pueden darse en el tablero de ajedrez es de 2·1043, que son veinte septillones, un número muchísimo mayor al de número de granos estudiado anteriormente. Y si hablamos del número de partidas posibles, que no de posiciones, el número se hace aún mayor, ya que a una misma posición se puede llegar de muchas maneras distintas. Limitándonos a las partidas que no se prolongan deliberadamente, con un máximo de unas 40 jugadas por cada bando, se ha calculado que el número de partidas diferentes posibles está entre 10115 y 10120, que son unos números realmente enormes, cantidades prácticamente imposibles de manejar. Pero es que si se cuentan también las partidas absurdas, aunque compatibles con las reglas del juego -por ejemplo, una partida se considera automáticamente en tablas cuando se efectúan 50 jugadas por bando sin que se haya movido ningún peón ni comido ninguna pieza-, el número aumenta hasta convertirse en algo totalmente inabordable. Asimismo, estudios y análisis realizados demuestran que la partida más larga terminaría con la jugada 5.899 de las blancas, en la que el rey blanco come la última pieza negra para quedarse a solas con el rey rival. Considerando esta cantidad de movimientos para las blancas, se ha calculado que el número total de partidas posibles es del orden de 1018900. Y éstos, aunque sólo son algunos ejemplos, bastan para intuir que la relación del ajedrez con las matemáticas se plantea dentro de la familia de los números astronómicos.

Todos estos números están calculados y demostrados, es decir, no han salido de la inventiva de alguien con la suficiente imaginación como para plasmar unas cifras tan apabullantes. Uno de los libros de referencia en este campo es, precisamente, Ajedrez y Matemáticas, escrito por los matemáticos y ajedrecistas Eero Bonsdorff, Karl Fabel y Olavi Riihimaa (dejaré un enlace al final del artículo a un PDF disponible para su consulta en la red). En él, se hace un análisis exhaustivo y detallado de varias cuestiones y problemas planteados dentro del tablero, aportando un desarrollo numérico encomiable y haciendo matemáticas puras donde sólo parece que hay piezas y movimientos, empleando herramientas como el análisis matemático, la teoría de probabilidades y la combinatoria. Por supuesto, este artículo, aunque con el mismo nombre, no pretende compararse, ni mucho menos, con esa monumental obra de análisis, como ya he dicho, todo un referente y consulta obligada en este campo. Por comentarlo brevemente, en él se estudian en profundidad aspectos como las series de movimientos de mínima longitud geométrica, los recorridos de las piezas -dando valores numéricos a las poligrafías referidas anteriormente- y las probabilidades y valoraciones de que un determinado suceso ocurra en una partida de ajedrez.

Imagen tomada de issuu.com

Un hecho muy curioso dentro del ajedrez es que existe una disciplina, si puede llamársele así, conocida como ajedrez heterodoxo o ajedrez de fantasía, en el cual existe la libertad de variar aspectos como la alternancia de las jugadas, los movimientos de las piezas, el objetivo del juego, etc., además de admitir modificaciones en la configuración del propio tablero, tanto en su tamaño como en su forma. Esto, que puede parecer absurdo a primera vista, es un recurso que aleja a la partida de la legalidad del ajedrez a la vez que la dota de infinitas posibilidades e imprevisibles resultados. Hay muchísimas variantes, dado que se trata de un ámbito muy extenso, por lo que aquí expondré solo algunas de las más conocidas y relevantes, que son:

  • Ajedrez de Brünner: en esta variante se cambia la disposición inicial de las piezas, en la que los peones se colocan en su posición habitual pero todas las demás pueden disponerse en cualquier orden dentro de su fila de partida correspondiente, conservando siempre la simetría entre blancas y negras, es decir, el rey negro ha de estar en la misma columna que el rey blanco, la dama negra en la misma que la dama blanca, etc. Un ejemplo:

Ajedrez de Brünner. Imagen tomada de ajedretecasite.files.wordpress.com

El principal objeto de esta variante es eliminar la teoría de aperturas, para hacer que el juego sea plenamente creativo desde los primeros movimientos. Para iniciar una partida, el blanco sitúa una de sus piezas, a elección, en una cualquiera de las casillas de la primera fila; luego el negro sitúa una pieza igual en su casilla homóloga, y otra pieza de su elección en una cualquiera de las casillas libres, y así sucesivamente hasta colocar todas las piezas.

  • Mate jaque: el nombre completo de esta variante sería mate al primer jaque, pues gana el jugador que antes logra dar un simple jaque al rey adversario. Este planteamiento no ofrece, sin embargo, muchas posibilidades, pues las blancas disponen de una estrategia segura para dar jaque al rey negro en un máximo de cinco jugadas moviendo solo los caballos.
  • El que pierde, gana: el objetivo es obligar al contrario a darnos jaque mate. Por lo demás, hay que respetar todas las reglas del ajedrez, incluida, por supuesto, la de neutralizar obligatoriamente los jaques del adversario. Y puesto que las únicas jugadas forzosas son precisamente los movimientos o capturas destinados a salir de la situación de jaque, la forma de obligar al contrario a darnos mate es, paradójicamente, darle jaque.

Ejemplo: El rey negro, al ser puesto en jaque por el caballo, no puede mover a ninguna de las casillas contiguas, pues todas están amenazadas; por lo tanto, la única forma de tienen las negras de neutralizar el jaque es comer el caballo con la dama, y al hacerlo dan jaque mate al rey blanco, perdiendo la partida. Imagen tomada de ajedretecasite.files.wordpress.com

  • Ajedrez bicolor: En esta modalidad, el rey no puede estar al alcance de ninguna de las piezas del tablero, ni siquiera de las de su propio bando. Naturalmente, esto obliga a eliminar el enroque, pues al enrocar el rey quedaría amenazado por su propia torre, y a alterar la disposición inicial, ya que el rey no puede estar junto a su dama, normalmente intercambiando las posiciones de la dama y el caballo de dama. Hay incluso una subvariante de esta en la que, además, se puede capturar piezas del propio bando. A primar vista puede parecer una opción inútil, ya que no interesa mermar las propias fuerzas; pero a menudo un peón -u otra pieza- del propio bando, se interponen en el camino de un ataque fulminante y puede convenir eliminarlo, por lo que esta variante proporciona un gran dinamismo al juego.
  • Ajedrez de Carrera: Esta fue una de las primeras ampliaciones del ajedrez convencional, propuesta en el siglo XVII por el clérigo y ajedrecista italiano Pietro Carrera, que consiste en jugar sobre un tablero de 8 x 10, y en la que cada bando tiene dos peones más y dos piezas nuevas: el centauro (E), que reúne los movimientos del alfil y el caballo, y el campeón (F), a la vez torre y caballo. Por lo demás, las reglas son las del ajedrez convencional, aunque el juego resulta mucho más ágil y agresivo debido a las nuevas piezas.

Ajedrez de Carrera.
Imagen tomada de ajedretecasite.files.wordpress.com

  • Ajedrez de Morley: Consiste en añadir dos pasillos laterales, de seis casillas cada uno, al tablero convencional. Este desahogo lateral permite interesantes maniobras y modifica sustancialmente los finales de partida.

Ajedrez de Morley.
Imagen tomada de ajedretecasite.files.wordpress.com

  • Ajedrez de Parton: También llamado ajedrez gemelo, se juega en un tablero de 10 x 10, y cada bando tiene dos reyes y dos damas, y diez peones en vez de ocho. La única modificación de las reglas convencionales es la supresión del enroque. Gana el que da mate a uno de los reyes contrarios, aunque también cabe la variante de tener que capturar ambos reyes para ganar la partida.

Ajedrez de Parton.
Imagen tomada de
ajedretecasite.files.wordpress.com

Ajedrez a cuatro: En esta variante se modifica el número de jugadores, que pasa de dos a cuatro. Se juega en un tablero de 160 casillas con piezas de cuatro colores, dispuestas al comienzo de la partida como se muestra en la figura de abajo. Se suelen formar dos bandos: blancas y negras contra rojas y verdes. Cuando un rey está en jaque, el otro jugador del mismo bando puede usar su turno para librarlo de la amenaza.

Ajedrez a cuatro.
Imagen tomada de
ajedretecasite.files.wordpress.com

Pasemos ahora a hablar de tecnología, tecnología punta, por cierto, esos potentísimos módulos informáticos de ajedrez capaces de desafiar e incluso derrotar de manera impersonal a grandes maestros internacionales. Porque los algoritmos utilizados en los que se sustentan tienen mucha base matemática y hay muchos matemáticos involucrados en su desarrollo. Dicho muy a grosso modo, estos programas comenzaron a trabajar con la noción de función de evaluación, como una función que asocia a cada posición un valor matemático. Por ejemplo, los módulos evalúan el material como: Dama = 9, Torre = 5, Alfil = 4, Caballo = 3, Peón = 1; también se evalúan con valor numérico otros aspectos posicionales, estratégicos o tácticos, como por ejemplo la seguridad del rey, peones débiles o aislados, actividad de piezas, control del centro del tablero, etc. Un ejemplo de función de evaluación tiene la forma siguiente:

donde Q, R, B, N, P son los números de damas, torres, alfiles, caballos, peones blancos en la posición -y con primas los correspondientes negros-, D, S, I dan el número de peones blancos doblados, atrasados o aislados -y con primas los negros-, M, M’ representan una medida de la movilidad de piezas de los dos bandos etc.

Pero la evaluación que da este tipo de función es estática, es decir, intenta evaluar solo la posición fija dada. Para poder avanzar, se necesita entender como cambia la valoración cada vez que se efectúa una nueva jugada, con lo cual, la anterior función de evaluación ha evolucionado a los modernos y actualmente utilizados algoritmos de tipo minimax, es decir, algoritmos que tratan de maximizar la evaluación matemática en función de las posibilidades de las blancas, luego minimizar la evaluación en función de las posibilidades de las negras en la siguiente jugada, y así de forma recursiva hasta la profundidad deseada. Éstos trabajan sobre estructuras de árboles, donde el nivel padre es la posición actual, el nivel 1 lo forman las posiciones que surgen al efectuar una jugada, etc., y están construidos a base de algoritmos Monte-Carlo -probabilistas- y de autoaprendizaje, algunos de los cuales son capaces de comenzar la partida conociendo solamente las reglas del ajedrez, sin estrategias implementadas, para ir desarrollándose por sí mismos en el transcurso del juego, lo cual indica un grandísimo avance en Inteligencia Artificial -AI, por sus siglas en inglés-.

Con el crecimiento de la fuerza computacional de los ordenadores modernos, los programas han ido superando poco a poco a los mejores jugadores humanos, y a día de hoy algunos de los programas más punteros –Houdini, Stockfish, Komodo, Rybka o Fritz, entre otros- tienen una fuerza de juego que supera a la del mejor jugador humano, ya que las máquinas han conseguido obtener en torno a 3.500 puntos Elo (🔗), mientras que el mejor jugador humano -el actual campeón mundial Magnus Carlsen- solo ha alcanzado un récord de 2.882 puntos. Aún así, y pese al espectacular desarrollo de estos módulos informáticos, todavía no han sido capaces de encontrar la estrategia para seguir un juego perfecto desde el principio hasta el final de una partida. Actualmente y en un futuro a corto-medio plazo, tal cosa es no es posible, al menos hasta que no se hayan desarrollado plenamente las computadoras cuánticas, debido a la enorme complejidad de las posibilidades en ajedrez, y es muy extendida la conjetura de que no será posible. Pero como falta una demostración matemática para esta conjetura, la posibilidad de que una máquina sea capaz de resolver el juego del ajedrez existe y está ahí. Lo que sí es cierto, y ya es un grandísimo logro en sí mismo, es que el desarrollo de los módulos informáticos ha llevado a una sustancial mejora en la comprensión humana del ajedrez, en la mejora de los análisis de apertura y en el entendimiento de la estrategia, dotando al juego de un dinamismo nunca antes visto y abriendo un amplísimo abanico de posibilidades desde todos los puntos de vista.

IBM Summit, uno de los súper ordenadores más potentes del mundo, ocupa más de 500 metros cuadrados y pesa más de 340.000 kilos. Máquinas como éstas pueden llegar a superar a los mejores ajedrecistas humanos del mundo. Imagen tomada de computerhoy.com

Sin embargo, y como apunte curioso, el juego de las damas, mucho menos complejo que el ajedrez ya que todas las piezas son del mismo valor, consiguió resolverse en 2007, tras casi veinte años de trabajo de un equipo liderado por el matemático e investigador informático canadiense Jonathan Schaeffer. El programa informático Chinook, creado por ellos mismos, es imbatible, es decir, jugando a las damas, lo peor que puede hacer es quedar en tablas, pero nunca perder. Sin embargo, y tras haberse desarrollado última tecnología en informática y en Inteligencia Artificial, el módulo no puede extrapolarse al ajedrez, por ser un juego radicalmente diferente en piezas, movimientos y estrategia. Aún así, no deja de ser un avance espectacular, ya que el algoritmo es capaz de jugar el juego ideal, con precisión y sin cometer errores.

Jonathan Herbert Schaeffer. Imagen tomada de ualberta.ca

Dada la estrecha relación de las matemáticas con el ajedrez y como no podía ser de otra manera, a lo largo de la historia grandes ajedrecistas también han sido matemáticos profesionales, algunos de ellos autores de descubrimientos y aportes notables al campo de las ciencias exactas. Veamos los más conocidos:

  • Adolf Anderssen (Breslavia, 1818-Breslavia, 1879) es considerado el primer campeón del mundo no oficial. Es famoso en la historia del ajedrez por dos de sus partidas, Anderssen-Kieseritsky (Londres 1851), conocida como la Inmortal (🔗) y Anderssen-Dufresne (Berlin, 1852) conocida como la Siempreviva (🔗). Anderssen trabajó toda su vida como profesor de matemáticas, una ocupación que nunca quiso abandonar.

Karl Ernst Adolf Anderssen.
Imagen tomada de
chessgames.com

  • Emanuel Lasker (Berlinchen, 1868-Nueva York, 1941) fue el más longevo campeón mundial de ajedrez, manteniendo el puesto entre 1894-1921 y jugando a nivel élite mundial hasta 1937, con una edad muy avanzada. Fue además un más que notable matemático, destacado investigador en el campo del álgebra abstracta: el Teorema de Lasker-Noether es hoy fundamental en la teoría de los ideales. Publicó artículos de investigación en prestigiosas revistas científicas como Nature o Mathematische Annalen, y colaboró con el renombrado matemático alemán David Hilbert en el grupo de matemáticos de la Universidad de Göttingen, en Alemania.

Emanuel Lasker.
Imagen tomada de
es.wikipedia.org

  • Max Euwe (Amsterdam, 1901-Amsterdam, 1981) fue el quinto campeón mundial oficial de ajedrez (1935-1937). Ostenta el récord absoluto de títulos de campeón de Holanda, con 12. Al retirarse del ajedrez de competición, ostentó la presidencia de la FIDE entre 1970-1978, en un periodo muy difícil para el ajedrez -debido en gran parte a las tensiones de la Guerra Fría entre EEUU y la URSS-. Ha escrito más de 70 libros instructivos de ajedrez y muchas generaciones se han formado con ellos. Max Euwe fue también un destacado matemático, profesión que nunca abandonó durante su vida. Obtuvo su doctorado por la Universidad de Amsterdam en 1926 y nunca renunció a su cargo de profesor. Demostró teóricamente que puede haber una partida de ajedrez infinita, evitando triples repeticiones de posición, que según las reglas del ajedrez resulta en tablas. Posteriormente, Euwe ha sido uno de los pioneros en investigar la creación de módulos computacionales de ajedrez, siendo presidente de la comisión holandesa de investigación en autómatas desde 1959 y luego de una comisión europea similar entre 1961-1963.

Max Euwe.
Imagen tomada de
ajedrez12.com

  • Mikhaíl Botvínnik (Repino, 1911-Moscú, 1995), conocido como el patriarca del ajedrez ruso, fue campeón mundial de ajedrez entre 1948-1963 (con 2 cortas interrupciones entre 1957-1958 y 1960-1961) y a menudo se le considera uno de los mejores jugadores de todos los tiempos. Fue uno de los fundadores de la escuela soviética de ajedrez y tras su retirada de la alta competición, en 1970, fue un destacado entrenador, siendo dos de sus alumnos estrella los futuros campeones mundiales y leyendas vivas del ajedrez Garry Kaspárov y Anatoli Kárpov. Fue ingeniero e informático, obteniendo su doctorado en ingeniería eléctrica en 1951. Si bien no era matemático de formación, sus trabajos en inteligencia artificial tuvieron sólidas bases matemáticas y fue uno de los primeros ajedrecistas en utilizar procedimientos científicos en el análisis de aperturas y posiciones de ajedrez. Entre estos trabajos, destacamos su investigación en el desarrollo de programas informáticos para jugar al ajedrez, desarrollando un algoritmo de búsqueda selectiva que durante un periodo llegó a ser uno de los primeros programas capaces de tomar decisiones complejas, aunque después de 1970 quedó obsoleto. Recibió el título de Doctor honorífico en matemáticas por la Universidad de Ferrara (Italia) en 1971, por sus investigaciones en la ciencia de la computación.

Mikhaíl Moiséyevich Botvínnik.
Imagen tomada de
pinterest.co.uk

  • John Nunn (Londres, 1955) es un gran maestro de ajedrez y matemático británico. Como ajedrecista, ha estado en el Top 10 mundial y ha ganado muchos torneos internacionales a lo largo de su carrera, siendo campeón europeo juvenil en 1975 y logrando medallas de oro individuales en las Olimpiadas en dos ocasiones. Es además un autor muy destacado de libros de ajedrez, recibiendo varios premios internacionales por sus escritos. Como matemático, John Nunn fue un niño prodigio, acabando su carrera en matemáticas en Oxford a los 18 años (en 1973) y su doctorado también en la Universidad de Oxford en 1978, con una tesis en el campo de la topología algebraica, considerada una de las mejores tesis doctorales en su área. Obtuvo una plaza de profesor en Oxford que mantuvo hasta 1981, cuando se dedicó plenamente al ajedrez. Ha desarrollado también interés por la astronomía, llegando a escribir varios artículos en este campo.

Jhon Nunn.
Imagen tomada de
britishchessnews.com

  • Karsten Müller (Hamburgo, 1970) es un gran maestro de ajedrez alemán, considerado una de las mayores autoridades en finales de partidas de nuestros tiempos. Autor de destacados tratados acerca de finales, obtuvo además un título de doctor en matemáticas por la Universidad de Hamburgo en 2002, y sigue teniendo interés en las matemáticas, sobre todo en el área de la teoría de juegos.

Karsten Müller.
Imagen tomada de
wikidata.org

El ajedrez es uno de los juegos más longevos que existen hoy en día, y durante su dilatada existencia ha levantado pasiones entre jugadores profesionales y aficionados, e incluso ha llegado a ser empleado como una poderosa arma propagandística durante los años de la Guerra Fría. Es cierto que aún no está extinguido el fuego de la polémica entre aquellos que defienden el ajedrez como un deporte y los que lo consideran una disciplina no deportiva, pero también es cierto que a nadie se le escapa el amplio abanico de ventajas que ofrece su práctica, con la que se ejercitan, entre otros, procesos propios del trabajo matemático como el análisis, el razonamiento o la simbolización. Porque, aunque el ajedrez es un juego clásico de mesa que se basa en unas reglas sencillas, implica el uso de estrategias cognitivas complejas. No en vano, investigaciones científicas han demostrado que los niños que juegan al ajedrez tienen un mayor rendimiento académico -incrementado en un 17% aproximadamente-, un mayor desarrollo de la inteligencia y adquieren asimismo mejoras muy significativas en materias como las matemáticas y las lenguas.

Grupo de niños en un torneo infantil en Gales (Reino Unido). Imagen tomada de chess24.com

El ajedrez es una asignatura obligatoria en todos los colegios de Cuba, Venezuela, Islandia, Armenia, Georgia, Azerbaiyán y Moldavia; y optativa y obligatoria en muchos colegios de España, EEUU, Alemania, Suecia, Turquía, Argentina, Israel, Singapur, Colombia, Brasil, Uruguay y Corea del Sur. Precisamente el Parlamento Europeo recomienda introducir el ajedrez en el sistema educativo de los países miembros de la UE. Y fuera de Europa, la noticia más reciente acerca de medidas para implementar y popularizar el ajedrez llega desde Uzbekistán, donde el 14 de enero de 2021 se emitió un decreto Sobre medidas para el mayor desarrollo y popularización del ajedrez y la mejora del sistema de entrenamiento de jugadores de ajedrez (la noticia completa en inglés 🔗).

El hecho de que haya sido capaz de perdurar durante siglos brinda una pista de la importancia de este deporte para el bienestar mental y, por consiguiente, para la salud cerebral; un deporte que permite explotar al máximo las habilidades mentales y creativas mientras se adquieren nuevas aptitudes y capacidades muy útiles para la vida diaria, sin olvidar que hace más activo al sistema nervioso y da paso a una menor probabilidad de presentar un deterioro cerebral en el futuro. Fuera del ámbito de la enseñanza y la medicina, el ajedrez también ha suscitado, como ya se ha visto, la atención de matemáticos y científicos, que han sabido ver en este juego de estrategia un campo abonado para el estudio y el análisis de diferentes problemas, así como también para el desarrollo de la Inteligencia Artificial a través de potentes módulos que han involucrado el avance y la mejora de la alta tecnología informática. Pero la gran pregunta es: ¿llegará algún día a resolverse el juego del ajedrez, es decir, llegará a conocerse la partida perfecta, sin errores? Puede que con las computadoras cuánticas se rompan los límites actuales y pueda saberse. De momento, aún no ha sido demostrado matemáticamente ni la posibilidad ni la imposibilidad, por lo que la posibilidad existe. Veremos cuando las computadoras cuánticas estén plenamente desarrolladas. De momento, el ajedrez sigue dando mucho juego.


Bibliografía utilizada

Para la redacción de este artículo me he basado, principalmente, en el completísimo artículo de Wikipedia titulado
Ajedrez (🔗), el cual aporta una cantidad ingente de información, y su estructura me ha sido de gran ayuda a la hora de organizar el contenido de este artículo. Todas las demás fuentes de las que he tomado imágenes o datos están debidamente citadas y con un enlace directo hacia sus páginas web, debajo de dichas imágenes o dentro del texto del artículo cuando así es requerido. Aún así, debo hacer mención a los siguientes documentos que de tanta ayuda me han servido y de los que he extraído gran cantidad de ideas e información:

2 comentarios

    1. jgarcia

      Hola Isabel,
      Gracias por tu comentario. Es verdad que hay que tener unos conocimientos mínimos de matemáticas para comprender plenamente el artículo. Espero al menos que las anécdotas y curiosidades contenidas en el mismo te hayan sorprendido y que hayas aprendido algo más sobre este maravilloso juego que es el ajedrez.
      Un saludo y gracias otra vez. Siéntete libre de visitar el blog siempre que lo desees.

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