Número π

Este es, sin ningún género de duda, uno de los números más célebres y emblemáticos sobre los que se apoya la ciencia, y su cálculo sigue levantando pasiones entre profesionales y aficionados a las matemáticas. Presente en nuestras vidas desde la Antigüedad, su valor no es más que una aproximación, y el más exacto es, simplemente, el que contiene un mayor número de decimales. Cualquier investigación que implique, de algún modo, trabajar con círculos, circunferencias o figuras geométricas similares, llevará implícito su cálculo. Y es que, sin temor a caer en la exageración, podemos asegurar que su utilidad es casi tan extensa como su número de decimales. Hablamos, como no, del número π.

Suele ser uno de los grandes protagonistas en complejos trabajos de investigaciones que involucran tecnología punta, como por ejemplo en ingeniería aeroespacial o en astronomía, ya que es empleado de forma inexorable en el cálculo de, por citar algún caso, las elipses de las trayectorias orbitales y espaciales. También está omnipresente en nuestra vida cotidiana, oculto bajo la forma circular de platos, relojes, ruedas, neumáticos y balones, entre otros muchos objetos que nos rodean día y noche.

Su definición, sin embargo, dista mucho de ser ostentosa: π es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

π es una constante en geometría euclidiana, y por ello, la ecuación anterior, independientemente del tamaño de la circunferencia, siempre tiene el mismo valor (aquí se muestran solo los 21 primeros decimales):

3,141592653589793238462

π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es una constante en geometría euclidiana. GIF tomado de es.wikipedia.org

El número, que se lee «pi», fue bautizado empleando la decimosexta letra del alfabeto griego, que coincide con la letra inicial para las palabras περιφέρεια “periferia” y περίμετρον “perímetro” de un círculo, notación que fue utilizada primero por el clérigo y matemático británico William Oughtred (1574-1660). Más tarde, el matemático galés William Jones (1675-1749) propuso su uso generalizado, planteando el nombre y símbolo de este número en 1706. Fue, sin embargo, el matemático y físico suizo Leonhard Euler (1707-1783) quien realmente lo popularizó a partir de la publicación de su obra Introducción al cálculo infinitesimal de 1748. Anteriormente, fue conocido como constante de Arquímedes, y durante mucho tiempo, los libros de matemáticas en Europa le dieron el nombre de constante de Ludolph o número ludolphino, en honor al matemático alemán Ludolph van Ceulen (1540-1610), conocido principalmente por haber calculado el valor de π con una aproximación de 35 cifras decimales utilizando el método de los perímetros mediante un polígono regular de 262 lados, hazaña de la que se sintió tan orgulloso que lo mandó grabar en su lápida. ​

Ludolph van Ceulen. Imagen tomada de rijksmuseum.nl

π es un número irracional (🔗), es decir, no puede ser expresado como una fracción entre números enteros (🔗) y su expresión decimal no es ni exacta ni periódica, o dicho de otro modo, es un número que posee infinitas cifras decimales las cuales, en su sucesión, no siguen patrón determinado alguno. Este hecho ha supuesto un verdadero quebradero de cabeza para numerosos matemáticos a lo largo de la historia, ya que desde la Antigüedad se ha destinado una cantidad ingente de recursos -acordes a cada época- a la búsqueda del mayor número de decimales del número π. Es además un número trascendente (🔗), lo cual quiere decir que no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales.

Ya en el Antiguo Egipto, el valor aproximado de π es abordado en el papiro de Ahmes, más conocido como papiro matemático Rhind o simplemente papiro Rhind, que data aproximadamente de 1800 a.C., en el que se afirma que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual a 8/9 del diámetro, y se le da a π el valor de 256/81 ≈ 3,16049… En Mesopotamia, hacia el 1900 – 1600 a.C., algunos matemáticos emplearon en el cálculo de segmentos valores de π = 3, alcanzándose en algunos casos valores más afinados como el de π = 3 + 1/7 ≈ 3,142857… Incluso en el libro de los libros, conocido comúnmente como la Santa Biblia, se hace referencia al valor aproximado de π = 3. Así, en el Libro primero de los Reyes, capítulo 7, versículo 23 (1 Reyes 7:23) se puede leer: «Hizo también una pila de bronce muy grande, redonda, de cinco metros de diámetro, dos y medio de alto y quince de perímetro», y en el Libro segundo de las Crónicas, capítulo 4, versículo 2 (2 Crónicas 4:2) se puede leer: «Hizo también una pila muy grande de bronce, redonda, de cinco metros de diámetro, dos y medio de alto y quince de perímetro». En el siglo III a.C., el físico, astrónomo y matemático griego Arquímedes llegó a determinar el valor de π en el intervalo comprendido entre 3 + 10/71 ≈ 3,140845… y 3 + 1/7 ≈ 3,142857…, usando el método de los polígonos regulares de n-lados inscritos y circunscritos en circunferencias para obtener el perímetro de dichos polígonos, llegando a hacer cálculos con figuras de hasta 96 lados. Alrededor del año 20 de nuestra era, el ingeniero, arquitecto y escritor romano Vitruvio obtuvo para π el valor de 25/8 ≈ 3,125 midiendo la distancia recorrida en una revolución por una rueda de diámetro conocido. En el siglo II, el astrónomo y matemático griego Claudio Ptolomeo proporcionó a π el valor de 377/120 ≈ 3,1416666…

Papiro de Ahmes, más conocido como papiro matemático Rhind. Imagen tomada de es.wikipedia.org

Expertos matemáticos de todas las culturas y épocas han ido a la caza del valor de π. Así, en la Antigua China, hacia el año 120 de nuestra era, el astrónomo y matemático chino Zhang Heng (78-139) usó la aproximación raíz cuadrada de 10 [√10] ≈ 3,16227766…, que dedujo de la razón entre el volumen de un cubo y la respectiva esfera inscrita. Hacia 263, el matemático Liu Hui fue el primero en sugerir que 3,14 era una buena aproximación, estimando posteriormente un el valor para π de 3,14159 empleando un polígono de 3.072 lados. ​A finales del siglo V, el matemático y astrónomo Zu Chongzhi calculó el valor de π entre 3,1415926 y 3,1415927, y llegó a dar la aproximación de π ≈ 355/113 ≈ 3,14159292…, siendo tan bueno y preciso este valor que no fue superado hasta que no trascurrieron 1.000 años, ya en el siglo XV.

En la India, el matemático Aryabhata estimó el valor en 3,1416 usando un polígono regular inscrito de 384 lados, y a mediados del siglo VII, considerando incorrecta la aproximación de Aryabhata, el matemático y astrónomo Brahmagupta calculó π como √10, aunque resultó ser un cálculo mucho menos preciso que el anterior. Hacia 1400, el matemático Madhava obtuvo una aproximación exacta hasta 11 dígitos (3,14159265359), siendo el primer matemático que empleó series para realizar la estimación.

También los matemáticos árabes se afanaron en obtener el valor de π. En el siglo IX, el matemático, astrónomo y geógrafo persa Al-Jwarizmi (780-850), en su obra Álgebra (Hisāb al-ŷabr wa’l muqābala حساب الجبر و المقابلة, Compendio de cálculo por compleción y comparación), hace notar que el hombre práctico usa 22/7 ≈ 3,142857… como valor de π, el geómetra usa 3, y el astrónomo 3,1416. En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular el valor de π con nueve dígitos, obteniendo la aproximación de 3,141592653.

Al-Jwarizmi. Imagen tomada de es.wikipedia.org

En Europa, a partir del siglo XII y ya con el uso de cifras arábigas en los cálculos, se facilitó mucho la posibilidad de obtener mejores cálculos para π, y a finales del siglo XVI, mediante el método de Arquímedes, el matemático flamenco Adriaan van Roomenpudieron obtuvo una precisión de hasta16 dígitos decimales. En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los 35 primeros decimales de π, y en segunda mitad del siglo XVII, matemáticos como Isaac Newton, John Wallis, Abraham Sharp y Gottfried Leibniz idearon y desarrollaron series matemáticas, unas más complejas que otras, cuyos valores convergen al número π. En 1789, el físico, matemático y militar esloveno Jurij Vega consiguió obtener, empelando la fórmula de Machin, descubierta en 1706, los 126 primeros decimales, y en 1841, el matemático inglés William Rutherford llegó a calcular 152.

Mención aparte merece el esfuerzo realizado por William Shanks (1812-1882), que dedicó veinte años de su vida a obtener decimales de π. Shanks era un maestro y matemático aficionado inglés que residía en Houghton le Spring, al noreste de la isla británica, junto a su esposa y su suegra. Era un hombre extremadamente meticuloso en su rutina de trabajo matemático, que compaginaba con la docencia, de modo que por las mañanas se dedicaba a realizar cálculos y por las tardes procedía a revisar esos mismos cálculos realizados durante la mañana. No olvidemos que, a mediados del siglo XIX, el método utilizado para realizar cálculos matemáticos era coger papel y lápiz y comenzar a hacer números. De este modo, William Shanks comenzó sus cálculos en 1853 para obtener, casi dos décadas después, un total de 707 decimales del número π. Una verdadera gesta para la época que sobrevivió hasta 1944, cuando otro matemático inglés, D. F. Ferguson, detectó un error en el quingentésimo vigésimo octavo guarismo decimal (528º) de la serie de Shanks, a partir del cual todos los dígitos siguientes eran erróneos. Fue una equivocación leve, concretamente la omisión de dos términos, pero esto provocó que se arrastrara el error a lo largo de toda la serie siguiente, dando lugar a datos totalmente incorrectos. Para cuando fue descubierto, Shanks llevaba muerto más de sesenta años, y por tanto, nunca pudo saber que su trabajo había sido, a partir del decimal 527º, en balde. En 1948, Ferguson volvió a la carga y recalculó π con 808 decimales, eso sí, con la ayuda de una calculadora electrónica.

William Shanks. Imagen tomada de elredondelito.es

A mediados del siglo pasado hicieron su aparición estelar las computadoras, y con ellas llegaron nuevas y hasta entonces desconocidas posibilidades en el mundo del cálculo numérico. En 1949, un ENIAC fue capaz de obtener 2037 cifras decimales en 70 horas, en1954 un NORAC llegó a las 3092 cifras y en 1966 un IBM 7030 pudo llegar 250 000 cifras decimales en 8 h y 23 min. Ya en el siglo XXI, concretamente en el año 2009, se hallaron más de dos billones y medio de decimales de π mediante el uso de una supercomputadora T2K Tsukuba System, en un tiempo de 73 horas y 36 minutos. En 2019, la informática teórica japonesa Emma Haruka Iwao calculó, con Google Cloud y-cruncher, el valor del número π con la mayor aproximación conseguida hasta el momento, alcanzando los 31,4 billones de dígitos (31 400 000 000 000) en 121 días. Huelga decir que la obtención de esta infinita fila de números ha sido posible debido a la descomunal potencia de cálculo y capacidad de almacenamiento que estas supermáquinas poseen, logros que suponen un enorme prestigio para sus ingenieros y constructores, ya que, además de que su marca aparece en las listas de récords, demuestra su enorme capacidad para hacer uso de computación avanzada mediante la combinación entre potencia de procesamiento y el uso de programas de cálculo de última generación.

IBM Summit, uno de los súper ordenadores más potentes del mundo, ocupa más de 500 metros cuadrados y pesa más de 340.000 kilos. Con máquinas como éstas se calculan billones de cifras decimales del número π. Imagen tomada de computerhoy.com

Los matemáticos están casi seguros de que esta secuencia de números decimales jamás se repite, es decir, nunca adopta un patrón, conteniendo, de este modo, todas las combinaciones de números posibles. Aquí están, por ejemplo, los cincuenta primeros decimales de π:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

Para quien desee estudiar, analizar, o simplemente observar la interminable lista de dígitos que componen este enigmático número, hay diferentes sitios web que ofrecen esa posibilidad, teniéndose rápido acceso a las 10.000 primeras cifras decimales (🔗) o a la posición de una determinada secuencia numérica entre las primeras 200.000 cifras decimales (🔗). Acabo de aprender ahora mismo, mientras me hallo redactando este artículo, que la secuencia numérica de mi fecha de cumpleaños ocupa la posición 101.768 contando desde el primer dígito después de la coma, en realidad no muy lejos del 3, teniendo en cuenta que el número es infinito…

El Jet Propulsion Laboratory (Laboratorio de Propulsión a Reacción, en español), centro dedicado a la construcción y operación de naves espaciales no tripuladas para la NASA, emplea, para los cálculos de navegación interplanetaria, que son lo que requieren de la más alta precisión, tan solo 15 decimales del número π (🔗). Y si quisiéramos calcular la circunferencia de un círculo cuyo radio fuese el tamaño de todo el universo conocido observable, y nos propusiésemos hacerlo con un grado de precisión equivalente a un átomo de hidrógeno, solamente precisaríamos unos 40 decimales.

¿Por qué entonces hay personas y supercomputadoras dedicadas única y exclusivamente a la obtención de mientras más cifras decimales mejor, llegando a calcular billones y billones? La explicación está en que algunos creen que lo que hoy puede parecer algo innecesario, mañana podría ser la base de un descubrimiento de nuevas teorías y ecuaciones que ayuden a desentrañar los misterios del universo, que aún son muchos, o dar pie a una nueva y asombrosa aplicación que desemboque en beneficio de la humanidad. Hay quienes incluso piensan que si tan solo pudiese encontrarse algún patrón, el que sea, en la secuencia numérica de π, se podría llegar a comprender el lenguaje del universo y de ese modo resolver numerosos enigmas que la ciencia actual es incapaz de esclarecer.

Hasta aquí, un breve repaso histórico acerca la evolución en el estudio y el conocimiento del número π, que tantas pasiones ha levantado a lo largo de la historia, como lo demuestra el hecho de que matemáticos de todas las épocas, tanto profesionales como aficionados, han dedicado enormes esfuerzos a la obtención de un valor lo más exacto posible mediante el cálculo de nuevos decimales o el planteamiento de ecuaciones en las que π es el protagonista indiscutible.

Pero este fascinante número no solo es el protagonista de una larga historia de trabajo y esfuerzo, sino que también lo es de numerosos anécdotas y hechos curiosos. Y es que, para hacernos una idea de la fascinación que provoca, tiene incluso su propio día, ya que el 14 de marzo se celebra el día del número π. ¿Por qué el 14 de marzo? Muy sencillo: en el mundo anglosajón, para citar las fechas se coloca primero el mes, después el día y por último el año. Así, March (3), 14 es el número π, 3,14. Curiosamente, este día coincide con la fecha de nacimiento de Albert Einstein y con aniversario del fallecimiento de Stephen Hawking, dos de los científicos más prolíficos y reconocidos de todos los tiempos.

El gran Isaac Newton lo consideró más que un simple número, lo admiró profundamente y le dedicó tiempo y esfuerzo, como se deduce de estas palabras suyas: «La naturaleza se reduce a un número: π. Quien descubra el misterio de π, comprenderá el pensamiento de Dios…». Es también muy importante para los españoles, ya que es una de las tres cosas que siempre recuerdan de su educación matemática, junto con el teorema de Pitágoras y la regla de tres, y aparece en el cine dando nombre a una película, Pi, fe en el caos, un thriller de ciencia ficción del año 1998, dirigida por del director estadounidense Darren Aronofsky. También tiene su propia melodía:

La ciudad de Seattle, situada en el noroeste de Estados Unidos, alberga, desde 2009, un monumento en honor al número π, obra del artista Dan Johnson, ubicada en un parque muy cerca del Museo de Arte.

Escultura dedicada al número π en Seattle. Imagen tomada de ngenespanol.com

Existen además reglas mnemotécnicas para recordar las primeras cifras del número π, mediante el uso de poemas, refranes, frases hechas e incluso cuentos, y en la ciudad de Buenos Aires (Argentina), es el número de teléfono a marcar, desde un móvil, para denunciar delitos en subterráneos, como por ejemplo estaciones de metro, tecleando *31416.

Vayamos ahora con la parte puramente matemática de π. Fue el geómetra griego Euclides (325 a.C.-265 a.C.), considerado el padre de la geometría y autor de los Elementos, el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante, cuya definición más común es la razón entre la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetro. En geometría euclidiana, para una circunferencia de radio unitario, esto es r = 1, la longitud de dicha circunferencia es lc = 2π, ya que:

y el área de un círculo unitario, r = 1, tiene un valor de π, ya que:

 Relación entre un cuadrado de lado r y un círculo de radio r. El área del círculo es π·r2 .GIF tomado de es.wikipedia.org

El número π es la base de una unidad sumamente útil para medir ángulos, el radián, ampliamente utilizada en física, cálculo infinitesimal, trigonometría y goniometría. Y es que esta unidad simplifica enormemente los cálculos, ya que los ángulos más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π. Por ejemplo: π = 180º, π/2 = 90º, ¾ π = 270º y 2π = 360º.

Ángulos de los polígonos más comunes medidos en radianes, expresados como fracciones de π. Imagen tomada de es.wikipedia.org

Pero, ¿Qué es exactamente el radián? ¿A cuánto equivale? Un radián es la unidad de medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo cuyos lados son cortados por el arco de la circunferencia, y que además dicho arco tiene una longitud igual a la del radio.

Descripción gráfica de radián. Imagen tomada de es.wikipedia.org
Medición de ángulos en radianes. GIF tomado de es.wikipedia.org

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios dividida entre el radio; es decir, θ = s/r, donde θ es el ángulo, s es la longitud de arco y r es el radio. Por tanto, el ángulo completo, θcircunferencia, de una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:

π es el menor número real (🔗) positivo x tal que sen(x) = 0. En cambio, para x = π, cos(x) = -1 y la tangente es también 0, es decir, tan(π) = 0, como puede observarse en las gráficas siguientes:

Función seno de un ángulo, sen (x), donde x se mide en radianes. Imagen tomada de es.wikipedia.org
Función coseno de un ángulo, cos (x), donde x se mide en radianes. Imagen tomada de es.wikipedia.org
Función tangente de un ángulo, tan (x), donde x se mide en radianes. Imagen tomada de es.wikipedia.org

Como ya se ha comentado, varias de las mentes más privilegiadas a lo largo de la historia, de gran prestigio en el mundo de las matemáticas, muy reconocidas y respetadas en su tiempo y aún más a día de hoy, cuando se ha comprendido plenamente su titánico aporte a las ciencias, dedicaron grandes esfuerzos al cálculo de π, dando con ello lugar a algunas ecuaciones de excepcional belleza. Así, en 1655, el matemático inglés John Wallis descubrió el conocido como producto de Wallis, una expresión utilizada para representar el valor del número π:

Una década después, en 1665, el físico y matemático inglés sir Isaac Newton, padre de la física moderna y uno de los desarrolladores del cálculo infinitesimal, formuló la serie:

En 1682, el filósofo, matemático, lógico, teólogo, jurista, bibliotecario y político alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, reconocido como el último genio universal y desarrollador, junto a Isaac Newton -aunque de forma separada e independiente- del cálculo infinitesimal, calculó π mediante la siguiente serie matemática, que lleva su nombre:

En 1699, el matemático inglés Abraham Sharp calculó π con una precisión de 71 dígitos, empleando la siguiente serie:

El problema de Basilea (🔗), que consiste en determinar cuál es el valor exacto de la suma de los cuadrados de los inversos de todos los números naturales, es decir, calcular la suma de la siguiente serie:

fue resuelto por Leonhard Euler en 1735, y la solución arrojó el siguiente resultado:

La fórmula de Euler o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece que:

Si hacemos x = π, se obtiene la siguiente expresión, conocida como identidad de Euler y considerada por muchos como la ecuación más bella de las matemáticas, notable además por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas de la misma, a saber, número e, i (unidad imaginaria) es la raíz cuadrada de -1, número π, 1 y 0:

El área bajo la campana de Gauss, una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en estadística y en la teoría de probabilidades y llamada así en honor al físico, matemático y astrónomo alemán Carl Friedrich Gauss, tiene la siguiente expresión:

Curvas gaussianas con distintos parámetros para la media μ y la varianza σ. Imagen tomada de es.wikipedia.org

Merece una mención en este artículo el matemático indio Srinivasa Ramanujan (1887-1920), quien con una mínima educación académica en matemáticas puras, hizo contribuciones extraordinarias a diferentes ramas de las mismas. Ramanujan desarrolló inicialmente su propia investigación matemática de forma aislada e independiente, redescubriendo teoremas conocidos previamente y formulando numerosas nuevas proposiciones, logrando además resultados que eran a la vez originales y muy poco convencionales (él argumentaba que una deidad hindú a la que era devota su familia se las dictaba en sueños), como por ejemplo esta fórmula para obtener el número π:

Existen otras fórmulas, no tan lustrosas ni elegantes, pero que son igualmente eficientes para calcular ingentes cantidades de dígitos del número π, como por ejemplo ésta desarrollada por el profesor de astronomía británico John Machin (1680-1751) en 1706, muy útil para expandir π a cerca de 100 posiciones decimales:

Estas otras aproximaciones proporcionan una cantidad descomunal de dígitos, tan grande que puede decirse que la única utilidad que tiene es la de comprobar el funcionamiento de los superordenadores, en los cuales la limitación no está en la computación en sí, sino en la memoria necesaria para almacenar una cadena con una cantidad casi infinita de números.

Además, π tiene varias representaciones como fracciones continuas (🔗), entre las que destacan:

Y como no, además de los métodos numéricos para la obtención de π, existen también los métodos gráficos, es decir, mediante construcciones geométricas, aunque estos arrojan valores bastante inexactos, en los cuales la precisión se pierde en los primeros cinco decimales. Aún así, no dejan de ser métodos interesantes, como demuestran los dos ejemplos siguientes:

Método de Kochanski

Consiste en dibujar una circunferencia de radio r, para inscribir en su interior el triángulo equilátero OEG. Trazando una recta paralela al segmento EG que pase por A y prolongándola hasta que corte al segmento OE, se obtiene D. Desde el punto D y sobre ese segmento se transporta 3 veces el radio de la circunferencia, obteniéndose de este modo el punto C. El segmento BC es aproximadamente la mitad de la longitud de la circunferencia (recordemos que, para r = 1, lc = 2π).

Construcción geométrica para la obtención de π mediante el método de Kochanski. Imagen tomada de es.wikipedia.org

(Demostración suponiendo r = 1)
Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que BC2 = AB2 + (3 – DA)2, y por la fórmula de la tangente de un ángulo, se puede obtener el valor del segmento DA, sabiendo que α vale π/6. Entonces:

Sustituyendo en la primera ecuación, tenemos que:

Método de Mascheroni

Este método fue desarrollado por el matemático italiano Lorenzo Mascheroni (1750-1800). Se dibuja una circunferencia de radio R y se inscribe un hexágono regular. El punto D es la intersección de dos arcos de circunferencia: BD con centro en A’, y CD con centro en A. Se obtiene el punto E como intersección del arco DE, con centro en B, y la circunferencia. El segmento AE obtenido es aproximadamente un cuarto de la longitud de la circunferencia.

Construcción geométrica para la obtención de π mediante el método de Kochanski. Imagen tomada de es.wikipedia.org

(Demostración suponiendo r = 1)
Del triángulo equilátero ABO, marcado de color rojo, se obtienen los valores de los segmentos MB y AB, empleando el seno y el coseno del ángulo en el vértice A, de valor π/3 rad. Por tanto, y sabiendo que AM = ½ :

Sabiendo que el ángulo que forman dos lados contiguos de un hexágono regular es 2π/3 rad, se puede averiguar fácilmente el ángulo del vértice A en el triángulo marcado de color verde. Este ángulo vale π/6 rad. Por lo tanto, resulta muy sencillo calcular el lado AC, idéntico a los lados AD y AB’, mediante el seno del ángulo Â:

Del triángulo ADO se obtiene el valor del segmento OD, aplicando el teorema de Pitágoras:

Del triángulo BDP se obtiene el valor del segmento BD, igual al del segmento BE:

En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, dos ángulos opuestos son suplementarios, de modo que α + β = π rad. Por tanto, en el cuadrilátero ABEB’, el ángulo  y el ángulo Ê suman π rad. Dado que el ángulo  = π/2 rad y  + Ê = π ; Ê = π – π/2 = π/2 rad. Y del triángulo BEB’, se obtiene fácilmente, mediante el teorema de Pitágoras, el valor del segmento EB’:

El teorema de Ptolomeo dice que en todo cuadrilátero cíclico, la suma de los productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales. Esto, aplicado al cuadrilátero ABEB’, queda del siguiente modo:

El número π puede calcularse además mediante métodos no deterministas, es decir, aquellos en los que ha de tenerse en cuenta la existencia del azar en el resultado. Así, mediante el empleo del método de Montecarlo, muy usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud, puede obtenerse su valor del siguiente modo:

Se dibuja un círculo unitario inscrito en un cuadrado de lado 2. Sabemos por tanto que:

Se lanza un número n de puntos aleatorios uniformes dentro del cuadrado y se cuenta el número de puntos dentro del círculo cuya distancia al origen es menor que 1. El cociente entre el número de puntos dentro del círculo dividido entre n arroja es un estimado de π/4. Al multiplicar este valor por 4, se obtiene el valor aproximado de π. Pero para emplear este método, antes han de hacerse dos consideraciones importantes:

  1. Si los puntos no están uniformemente distribuidos, el método es inválido.
  2. La aproximación mejora conforme n se hace más grande, es decir, a mayor número de puntos, mejor será la aproximación, siendo ésta muy pobre si solo se lanzan unos pocos puntos.
Estimación de π por el método de Montecarlo en Python con un número de puntos n de 10 a 1,000,000. GIF tomado de es.wikipedia.org

Otro método, muy similar al anterior, es calcular el valor de π mediante el problema de la aguja de Buffon, un clásico problema de probabilidad geométrica y realización práctica. Fue planteado por el matemático y naturalista francés Georges Louis Leclerc, conde de Buffon, en 1733. Se trata de lanzar una aguja sobre un papel en el que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí de manera uniforme, pudiéndose demostrar de este modo que, si la distancia entre las rectas es igual a la longitud de la aguja, la probabilidad de que la aguja cruce alguna de las líneas es 2/π. De esta manera, se obtiene:

donde N es el número total de intentos y A el número de veces que la aguja ha cruzado alguna línea.

Práctica realizada con GeoGebra. Para un total de 680 lanzamientos, se ha obtenido un valor de π = 3,148148… Imagen tomada de geogebra.org

Si la aguja es más corta que la distancia entre las rectas, la probabilidad disminuye proporcionalmente al cociente entre la longitud de la aguja y la distancia entre las rectas, y en este caso, π toma el valor de:

donde L es la longitud de la aguja y D la distancia entre las rectas.

Las series, ecuaciones y métodos vistos anteriormente son solo algunos de los que existen para obtener el valor de π, algunos más exactos que otros, como ya se ha visto. Pero, siendo objetivos, ¿ha merecido y merece la pena tantísimo esfuerzo por calcular este número, que al fin y al cabo no es más que una constante? Pues realmente sí, merece la pena. El número π no solo es una constante, sino que es un número con una gran utilidad en campos como la geometría, para calcular longitudes, áreas y volúmenes, y en cálculo, para calcular áreas bajo líneas curvas. Por citar solo dos ejemplos de muchísimos que existen, el toro de revolución, una superficie tridimensional que resulta de hacer girar una circunferencia alrededor de un eje que no la corta, tiene por superficie:

donde R es la distancia del eje de revolución al centro de una sección circular del toro y r es el radio de dicha sección.

En la cicloide, curva descrita por un punto de la circunferencia, cuando ésta recorre sin resbalar sobre una recta, el área de la región cerrada, delimitada por una rama y el eje OX es:

Cicloide generada por una circunferencia rodando sobre una recta. GIF tomado de es.wikipedia.org

En teoría de la probabilidad, rama de las matemáticas que estudia los experimentos o fenómenos aleatorios, el número π juega un papel fundamental, ya que, solo por citar algunos ejemplos, la probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es

Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es

El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es

Y un largo etcétera. Refiriéndonos nuevamente al problema de la aguja de Buffon, mencionado anteriormente, la probabilidad de que al lanzar una aguja de longitud L corte con alguna de las líneas dibujadas sobre una superficie, separadas una distancia D, es

En análisis matemático está presente en numerosas series y ecuaciones como las de Newton, Leibniz, Wallis, Euler, Gauss… vistas anteriormente. Además, haciendo uso del cálculo infinitesimal, se puede calcular la mitad del área de un círculo unitario, resultando:

Y la mitad de la longitud de la circunferencia unitaria, que es:

Además, la raíz cuadrada de π es el resultado de la integral de Gauss, como ya se ha visto anteriormente:

Imagen tomada de es.wikipedia.org

En física, π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen los principios fundamentales del Universo, no necesariamente relacionada con las características geométricas del círculo, sino usada, por ejemplo, para describir fenómenos periódicos como ondas y ciclos, debido fundamentalmente a su relación con la naturaleza del círculo y, correspondientemente, con el sistema de coordenadas esféricas, usado ampliamente en física por sus propiedades de simetría radial. Así, el número π aparece, por ejemplo, en la ecuación de la constante cosmológica (🔗), en el principio de incertidumbre de Heisenberg (🔗), en la ecuación del campo de Einstein de la relatividad general (🔗), en la ley de Coulomb para la fuerza eléctrica (🔗), en la ecuación de la permeabilidad magnética del vacío (🔗) y en la tercera Ley de Kepler (🔗).

Imagen tomada de slideshare.net

donde C es la constante de Kepler, T es el periodo orbital, R es la distancia media del cuerpo a la fuente central gravitacional, M es la masa del cuerpo central y G una constante denominada Constante de gravitación universal cuyo valor marca la intensidad de la interacción gravitatoria y el sistema de unidades a utilizar para las otras variables de esta expresión, válida tanto para órbitas circulares como elípticas.

Impresionante, ¿verdad? Y este artículo, aunque extenso, no trata más que una ínfima parte de todo lo que el número π involucra. Porque, pese a que se han vertido ríos de tinta en artículos, libros, tratados… acerca de π, aún quedan cuestiones abiertas que acaparan la atención de matemáticos de todo el mundo, tratando de encontrar una solución a varios enigmas que todavía persisten. Algunos de ellos son:

  • Cada uno de los dígitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿tiene una aparición infinita en los decimales de π?
  • Cuestión de Brouwer: en la expansión decimal de π, ¿existe alguna posición donde exista una sucesión de mil ceros consecutivos?
  • ¿Es π simplemente normal en base 10? Es decir, ¿tiene cada uno de los diez dígitos del sistema decimal la misma probabilidad de aparición en la expansión decimal?
  • Aún no se sabe si π+e, π/e, ln(π) son irracionales.

Y es que, como dejó entrever el astrónomo, astrofísico, escritor y divulgador científico estadounidense Carl Sagan en su novela Contacto, publicada en 1985, puede que en las entrañas del número π se esconda la esencia misma del universo.


Bibliografía utilizada

Para la redacción de este artículo me he basado, principalmente, en el genial artículo de Wikipedia titulado
Número π (🔗), el cual aporta una cantidad ingente de información, y su estructura me ha sido de gran ayuda a la hora de organizar el contenido de este artículo. Las demostraciones de los métodos gráficos para obtener aproximaciones al número π son de mi propia cosecha, tirando de mis conocimientos previos de geometría, aprendidos durante mi época de estudiante. Todas las demás fuentes de las que he tomado imágenes o datos están debidamente citadas y con un enlace directo hacia sus páginas web, debajo de dichas imágenes o dentro del texto del artículo cuando así es requerido. Aún así, me gustaría destacar la calidad de los artículos de la sección de Ciencia del diario ABC, cuyos artículos Diez curiosidades sobre el número Pi para celebrar su día (🔗) y Los misterios del número Pi aún sin resolver (🔗) me han aportado datos curiosos con los que enriquecer el texto.