Teorema de Pitágoras

La geometría, cuyo nombre proviene del latín geometrĭa, y este del griego γεωμετρία, “medida de la tierra”, es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo puntos, rectas, planos y politopos. Es quizá por eso, porque es una disciplina tan práctica, visible y con tantas aplicaciones, que resulta tan atractiva para todos los que somos aficionados a las ciencias y a las matemáticas, más aún si se tiene algún tipo de formación superior en ciencias o ingeniería. Los orígenes de la geometría se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas, con amplísima utilidad práctica en física , ingeniería, arquitectura, astronomía y arte, entre otras disciplinas.

Pirámides de Giza, Egipto. Imagen tomada de pinterest.co.uk

Es precisamente la geometría la que alberga uno de los teoremas más célebres de la historia de las matemáticas: el archiconocido, divulgado y admirado Teorema de Pitágoras. Pero antes de pasar directamente a hablar del teorema, hemos de mencionar al filósofo y matemático griego que le da su nombre, considerado como el primer matemático puro de la historia: Pitágoras. Los datos verificables sobre su vida son muy escasos, ya que no existen en la actualidad textos de su autoría ni biografías realizadas por sus contemporáneos. Se cree nació en la isla de Samos hacia 569 a.C. y murió en Metaponto, en el sur de la península itálica, hacia 475 a.C. Fue el fundador de la Escuela Pitagórica, una sociedad de naturaleza religiosa interesada en la medicina, la cosmología, la filosofía, la ética y la política, entre otras disciplinas. El pitagorismo influyó en filósofos de la talla de Platón o Aristóteles, y además contribuyó, en gran medida, al desarrollo de las matemáticas y la filosofía en Occidente.

Dibujo recreando la figura de Pitágoras. Imagen tomada de lancelotdigital.com

Sus discípulos, los llamados pitagóricos, atribuían a su maestro todos los hallazgos realizados por la Escuela, razón por la cual resulta muy complicado discernir entre los descubrimientos del propio Pitágoras y los de sus seguidores. De hecho, varios hallazgos importantes, como la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado de lado mensurable -la diagonal de un cuadrado y el lado del mismo cuadrado no guardan una proporción expresable por números enteros, esto es, que son inconmensurables- o el Teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos, fueron probablemente desarrollados por la Escuela pitagórica y no por el mismo Pitágoras. Esta confusión en torno a las autorías fue alimentada por la circunstancia de que los primeros escritos detallados, que datan de entre 150 y 250 años después de su muerte, se basan en historias transmitidas de manera oral y muestran severas diferencias y contradicciones entre sí, además de que fueron muchos los mitos y leyendas que se forjaron en torno a su persona, ya fueran motivados por el mismo Pitágoras, o por la naturaleza de la doctrina pitagórica y sus seguidores, una hermética hermandad regida por símbolos místicos y costumbres esotéricas.

Grupo de pitagóricos celebrando la salida del sol. Himno al sol naciente, óleo de Fyodor Bronnikov (1827-1902)

Sea como fuere, el teorema que lleva su nombre es la verdad demostrada más conocida de entre todas las que tienen nombre propio en matemáticas, y establece que, en todo triángulo rectángulo, con catetos de longitud a, b y medida de la hipotenusa c, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, cumpliéndose la siguiente relación:

De esta ecuación se deducen los tres corolarios siguientes:

Representación gráfica del Teorema de Pitágoras. Imagen tomada de media.timetoast.com

Esta hermosa ecuación es de las que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos tan diversos como los algebraicos, relacionándose los lados y segmentos del triángulo; los geométricos, comparándose las áreas; los dinámicos, a través de las propiedades de fuerza y masa; y los cuaterniónicos, mediante el uso de vectores. Como apunte curioso, comentar que uno de los factores que ha contribuido a tan elevado número de demostraciones -se estima que alrededor de 370- es que durante la Edad Media se exigía, para alcanzar el grado de Magíster matheseos -Maestro de las Matemáticas- una nueva demostración del teorema. El caso es que mucho antes, en la Antigua China, dos tratados de Matemáticas, el Zhoubi Suanjing (escrito entre el 500 y el 300 a.C.) y el Jiuzhang Suanshu (fechado en torno al año 250 a.C.) ya hicieron referencia al teorema, conteniendo pruebas escritas acerca del mismo, y se cree que Pitágoras no llegó a conocer estas obras. Por lo tanto, sería correcto decir que el teorema ha sido descubierto y redescubierto en varias ocasiones a lo largo de la historia.

Muchos matemáticos a lo largo de la historia, entre ellos algunas celebridades, han demostrado el Teorema de Pitágoras, como por ejemplo Euclides (matemático y geómetra griego, 325 – 265 a.C.), Pappus de Alejandría (matemático griego, 290 – 350 d.C.), Bhāskara II (matemático y astrónomo hindú, 1114 – 1185) y el genio del Renacimiento italiano Leonardo da Vinci (pintor, arquitecto, científico, escritor, ingeniero, inventor… entre otras muchas cosas, 1452 – 1519). Incluso un presidente de los Estados Unidos, James Abram Garfield (1831 – 1881), se afanó en el estudio del teorema, encontrando y publicando en el New England Journal of Education una bella y sencilla demostración. En este artículo incluyo una de ellas, a mi parecer bellísima a la vez que muy fácil e intuitiva:

Sea el cuadrado de la Figura 1, de lado a + b, cuya área es la suma de a2, b2 y dos veces el área del rectángulo de lados a y b. Si trazamos dos diagonales en sendos rectángulos de lados a y b, la resultante es c. Reorganizando segmentos y áreas, la Figura 1 puede transformarse en la Figura 2, y de este modo se deduce que:

Puesto que el término 2·a·b está a ambos lados del paréntesis con el mismo signo, se anula, y queda la ecuación que enuncia el Teorema de Pitágoras, quedando así demostrado:

En no pocas ocasiones, son las cosas simples las que encierran una gran belleza y elegancia. Tradicionalmente, los matemáticos han considerado que el criterio más importante de belleza es la simplicidad, y el Teorema de Pitágoras es un claro ejemplo de ello, poseedor de un encanto frío y austero que lo hace irresistiblemente atractivo. No en vano, su ecuación es considerada como una de las más bellas de la historia de las matemáticas, y la revista Muy interesante la sitúa, en uno de sus artículos (🔗), como una de las 17 ecuaciones que cambiaron el mundo.

El Teorema de Pitágoras puede ser empleado para calcular la longitud l de un objeto tal como una escalera, una cuerda o un tirante, si se conoce la altura h del muro a alcanzar y la distancia d desde la base al pie de la escalera, la cuerda o el tirante.

Además, puede ser empleado en geometría analítica plana para hallar la distancia entre puntos, en trigonometría para demostrar la identidad fundamental sen2a + cos2a = 1, en geometría para calcular la altura de un triángulo equilátero en función del lado, para obtener la altura del tetraedro regular usando la arista o para hallar la apotema de un triángulo equilátero y de un hexágono regular inscritos, conociendo el radio de la circunferencia circunscrita. Puede también ser empleado en teoría de números, para analizar números enteros gaussianos. He aquí un ejemplo práctico de como el Teorema de Pitágoras puede ser empleado en situaciones reales:

Se desea calcular la longitud necesaria de tirante para anclar el extremo superior de una antena de telecomunicaciones a un perno circular colocado en el terreno que, por motivos constructivos, se encuentra a 40,5 metros de la base de la antena, sabiendo que la misma tiene una longitud desde de su base hasta su propio punto de anclaje de 50 metros. (En este ejemplo no se tienen en cuenta las características mecánicas del material que influyen en su alargamiento)


Bibliografía utilizada

Para la redacción de este artículo me he basado, principalmente, en mis propios conocimientos, es decir, en lo que recuerdo de mis tiempos de estudiante acerca del Teorema de Pitágoras, aunque ayudándome de la siempre inestimable Wikipedia y su artículo
Teorema de Pitágoras (🔗). Todas las demás fuentes de las que he tomado imágenes o datos están debidamente citadas y con un enlace directo hacia sus páginas web, debajo de dichas imágenes o dentro del texto del artículo cuando así es requerido.

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